"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Числа нужны не только для счёта: с их помощью записывают отсутствие предметов, изменения, доли и измерения. По мере появления новых задач люди расширяли набор чисел: от натуральных перешли к целым, а затем к рациональным и иррациональным. Главное — различать эти множества и понимать, как они связаны. Тогда можно определить, к каким видам относится число, и выбрать удобную форму его записи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Их множество обозначают N. Эти числа помогают ответить на вопрос «сколько?», например: 5 книг или 12 яблок.
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Их множество обозначают Z. Отрицательные числа и нуль нужны, чтобы записывать результаты изменений: долг, понижение температуры или отсутствие предметов.
Рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Такие числа обозначают буквой Q; к ним относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные или периодические десятичные дроби. Это определение позволяет объединить разные записи одной и той же величины.
Иррациональное число нельзя представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. Например, √2 — иррациональное число: его десятичная запись бесконечна и не повторяется периодами. Такие числа нужны, потому что одних рациональных чисел недостаточно для описания всех величин.
Сначала людям требовалось считать предметы, поэтому хватало натуральных чисел. Но счёт не описывает все ситуации: нужно было записать, что предметов нет, или показать уменьшение величины. Так появились нуль и отрицательные числа, которые дополнили натуральные до целых.
Целых чисел тоже оказалось недостаточно для всех действий. Например, если 1 пирог разделить поровну между двумя людьми, доля каждого равна 1/2, а это не целое число. Поэтому к числам добавили дроби и получили рациональные числа, которые позволяют записывать части единицы и результаты деления.
Одну и ту же рациональную величину часто можно записать по-разному. Например, 7/4 = 1 3/4 = 1,75: это обыкновенная дробь, смешанное число и конечная десятичная дробь. Удобная запись зависит от задачи: дробь может быть полезна при делении, а десятичная запись — при измерениях.
Однако и рациональных чисел не хватает для описания некоторых величин. Например, диагональ квадрата со стороной 1 выражается числом √2, которое нельзя записать обыкновенной дробью. Его десятичная запись продолжается без конца и не образует повторяющегося периода, поэтому √2 — иррациональное число.
Множества чисел связаны включением: каждое натуральное число является целым, а каждое целое — рациональным, потому что его можно записать со знаменателем 1. Например, 5 = 5/1, а −3 = −3/1. Иррациональные числа не являются рациональными, хотя вместе с ними и рациональные числа составляют более широкий набор чисел, который понадобится изучать дальше.
| Множество чисел | Какие числа входят | Примеры | Как записываются |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | Числа для счёта; нуль не включён | 1, 7, 25 | 1, 2, 3, … |
| Целые числа | Натуральные, противоположные им и нуль | −4, 0, 7 | …, −2, −1, 0, 1, 2, … |
| Рациональные числа | Числа, представимые дробью m/n, где m — целое, n — натуральное | 3/5, −4, 1,25 | Обыкновенные дроби, целые числа, конечные и периодические десятичные дроби |
| Иррациональные числа | Числа, не представимые такой дробью | √2, π | Бесконечная непериодическая десятичная запись |
Пользуйся таблицей так: сначала проверь, подходит ли число под определение самого узкого множества. Затем учитывай включение множеств: например, натуральное число одновременно целое и рациональное.
Если десятичная запись бесконечна, выясни, повторяется ли в ней период. Периодическая запись означает рациональное число, а бесконечная непериодическая — иррациональное.
Нужно проверить каждое число по определениям четырёх множеств. Помним, что принадлежность широкому множеству не отменяет принадлежности более узкому. Например, натуральные числа входят и в целые, и в рациональные.
Ответ: 0 — целое и рациональное; 7 — натуральное, целое и рациональное; −4 — целое и рациональное; 3/5 и 1,25 — рациональные числа.
Конечную десятичную дробь можно превратить в обыкновенную: число знаков после запятой подсказывает знаменатель. Затем дробь удобно сократить и сравнить с определениями множеств. Не забудем, что знак минус не мешает числу быть рациональным.
Ответ: −2,4 = −12/5; это рациональное число.
Чтобы классифицировать корень, сначала проверим, можно ли вычислить его точно. Если под корнем полный квадрат, результатом будет целое число. Для остальных случаев нужно опираться на свойства конкретного числа, а не считать все корни одинаковыми.
Ответ: √9 — рациональное число, √2 — иррациональное.
Иногда нуль записывают среди натуральных чисел, потому что он используется при счёте или стоит рядом с ними на числовой прямой. Но соглашения о натуральных числах могут различаться, поэтому ориентируйся на принятое в теме: здесь 0 не входит в N. Проверь себя по определению множества и помни, что нуль точно является целым числом.
Отрицательные числа порой называют дробными только из-за знака минус. Однако −4 — целое число, а его запись −4/1 показывает, что оно также рациональное. Чтобы не ошибиться, отдельно проверь, есть ли у числа дробная часть, и можно ли представить его как дробь.
Бесконечную десятичную запись могут сразу объявить иррациональной. Это неверно: у рационального числа запись тоже бывает бесконечной, если цифры повторяются периодом, как в 0,(3). Проверь, повторяется ли последовательность цифр; периодическая запись рациональна.
Иногда √2 считают рациональным по аналогии с √9, потому что оба числа записаны со знаком корня. Но √9 = 3, поскольку 9 — полный квадрат, а √2 нельзя представить обыкновенной дробью. Для проверки сначала вычисли корень, если подкоренное число — полный квадрат; иначе не делай вывод только по виду записи.
Для этой темы полезно помнить, как записываются натуральные числа, обыкновенные и десятичные дроби, отрицательные числа и как выполнять действия с ними. Эти знания помогают распознавать число, даже если оно записано в непривычной форме. Например, чтобы проверить рациональность −2,4, нужно уметь превратить десятичную дробь в обыкновенную.
Классификация чисел пригодится при работе с координатной прямой: по ней удобно сравнивать числа и видеть, где расположены нуль и отрицательные числа. Позже понятия о рациональных и иррациональных числах объединятся при изучении действительных чисел. Это расширит набор чисел, с которым можно работать при измерениях и решении задач.
Считается ли нуль натуральным числом?
В принятом здесь соглашении нуль не относят к натуральным числам: натуральными называют числа 1, 2, 3 и так далее. Нуль входит в множество целых чисел.
Может ли отрицательное число быть рациональным?
Да. Например, −4 можно записать дробью −4/1, поэтому это рациональное число. Отрицательные целые числа также являются рациональными.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. Иррациональное число так представить нельзя; его бесконечная десятичная запись не периодична.
Почему периодическая десятичная дробь является рациональной?
Её можно представить обыкновенной дробью с целым числителем и натуральным знаменателем. Например, 0,(3) = 1/3. Поэтому бесконечность записи сама по себе не означает, что число иррациональное.
Всегда ли квадратный корень — иррациональное число?
Нет. Если под знаком корня стоит полный квадрат, результат может быть целым: √9 = 3. Но √2 нельзя представить обыкновенной дробью, поэтому это иррациональное число.
5. Какие числа мы знаем, и что мы о них знаем или не знаем
