6*. О системах счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи чисел с помощью определённых знаков и правил. Одна и та же величина может выглядеть по-разному: 7, VII и 111₂ обозначают одно число. Это понятие нужно, чтобы понимать, как читать записи чисел в разных системах.

Цифра — знак, которым записывают число в данной системе счисления. Например, в десятичной системе есть цифры от 0 до 9, а в двоичной — только 0 и 1. Значит, набор допустимых цифр зависит от выбранной системы.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. В числе 55 одна пятёрка означает 50, а другая — 5. Такое устройство позволяет коротко записывать большие числа.

Основание позиционной системы — число, показывающее, во сколько раз возрастает значение разряда при переходе на один разряд влево. В десятичной системе каждый следующий разряд в 10 раз больше предыдущего, а в двоичной — в 2 раза. Основание также определяет, какие цифры разрешены.

Как это устроено

Одно и то же число можно записать разными способами, потому что системы используют разные знаки и правила. Например, число три записывают как 3 в десятичной системе, III в римской и 11₂ в двоичной. Количество предметов не меняется, меняется только способ его обозначения.

Позиционная и непозиционная записи устроены по-разному. В римской записи знак I обычно означает единицу, V — пять, X — десять, а итог зависит от сочетания знаков: IV — это 4, IX — 9. В позиционной записи место знака сразу связано с его весом, поэтому одинаковые цифры могут давать разные вклады.

В позиционной записи каждая цифра умножается на вес своего разряда. В числе 333 первая цифра означает 3 · 100, вторая — 3 · 10, третья — 3 · 1. Это происходит потому, что разряды соответствуют степеням основания: 10², 10¹ и 10⁰.

Если основание системы равно n, в ней используют цифры от 0 до n − 1. Цифра n не подходит: при достижении этого значения начинается новый разряд, как после 9 в десятичной системе появляется 10. Поэтому в двоичной системе только 0 и 1, в троичной — 0, 1 и 2.

Разложение по разрядам показывает, из чего складывается запись. Например, 508 = 5 · 10² + 0 · 10¹ + 8 · 10⁰. В другой системе правило такое же: 1011₂ = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰, поэтому запись равна 11 в десятичной системе.

Сравнение способов записи чисел

В таблице сравниваются знаки и правила трёх записей. При чтении позиционного числа сначала находят основание и веса разрядов, а римскую запись читают по значениям знаков и их сочетаниям.

Разбор задач

1. Запишите число 27 римскими цифрами и объясните, из каких частей складывается запись.

Нужно представить 27 как сумму десятков и единиц. В римской записи десять обозначают X, а пять — V; единицу обозначают I. Поэтому отдельно записываем два десятка, пятёрку и две единицы.

1. 27 = 20 + 7.
2. 20 записывается как XX.
3. 7 = 5 + 1 + 1, поэтому это VII.
4. Соединяем части: XXVII.

Ответ: 27 = XXVII. В этой записи нет вычитания: все знаки складываются.

2. Запишите число 13 в двоичной системе счисления.

В двоичной системе каждый разряд имеет вес 1, 2, 4, 8 и так далее. Число 13 удобно представить суммой 8 + 4 + 1. Значит, в разрядах 8, 4 и 1 ставим единицы, а в разряде 2 — ноль.

1. 13 = 8 + 4 + 0 + 1.
2. Весам 2³, 2², 2¹, 2⁰ соответствуют цифры 1, 1, 0, 1.
3. Читаем цифры слева направо: 1101₂.

Ответ: 13 = 1101₂. Проверка: 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 = 13.

3. Переведите запись 10110₂ в десятичную систему.

Справа налево разряды двоичной записи имеют веса 2⁰, 2¹, 2², 2³ и 2⁴. Каждую цифру умножаем на вес её разряда, даже если цифра равна нулю. Затем складываем только получившиеся вклады.

1. 10110₂ = 1 · 2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰.
2. Вычисляем: 16 + 0 + 4 + 2 + 0.
3. Получаем 22.

Ответ: 10110₂ = 22. Левая единица означает 16, следующая единица — 4, а третья — 2.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что цифра всегда имеет одно значение. Так делают, забывая о разрядах: в числе 505 нули и пятёрки занимают разные места. Проверяйте себя разложением по степеням основания.

Ошибка 2. Использовать цифру, равную основанию или большую него. Например, запись 102₂ невозможна, потому что в двоичной системе разрешены только 0 и 1. Сначала назовите основание, а затем выпишите допустимые цифры от 0 до n − 1.

Ошибка 3. Складывать цифры при переводе в десятичную систему без учёта разрядов. В записи 1011₂ нельзя получить 1 + 0 + 1 + 1: каждая цифра умножается на свою степень 2. Проверка — подписать под цифрами веса разрядов.

Ошибка 4. Путать основание с количеством цифр в записи. Число 10110₂ имеет пять знаков, но его основание равно 2. Чтобы не ошибиться, спросите: основание задаёт правила системы или просто показывает длину записи?

Связь с другими темами

Для работы с системами счисления нужны знания о разрядном составе десятичного числа и действиях с натуральными числами. Умение раскладывать число на десятки, сотни и единицы помогает понять запись через степени основания.

Позиционные системы связаны с информатикой. Компьютеры хранят и обрабатывают информацию с помощью двоичных сигналов, поэтому запись нулями и единицами помогает описывать работу цифровых устройств.

Что запомнить

• Одно и то же число можно записать в разных системах счисления.
• В позиционной системе значение цифры зависит от её места.
• Основание системы определяет набор допустимых цифр и веса разрядов.
• В системе основания n используются цифры от 0 до n − 1.
• При переводе позиционной записи в десятичную учитывают степени основания.
• Римская запись устроена иначе, чем позиционная.