"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Система счисления — это правила, по которым числа записывают с помощью знаков. Одно и то же число можно представить по-разному: например, десятичная запись использует цифры от 0 до 9, а двоичная — только 0 и 1. В позиционной системе значение цифры зависит от её места, а разряды связаны со степенями основания. Эти правила помогают читать и сравнивать записи чисел, переводить их из одной системы в другую и понимать, как информацию представляют компьютеры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система счисления — способ записи чисел с помощью определённых знаков и правил. Знаками могут быть цифры или другие символы, а правила объясняют, как из них составляется запись. Это понятие нужно, чтобы понимать, почему одно и то же количество можно записать по-разному.
Цифра — знак, используемый для записи числа; в каждой системе набор допустимых цифр свой. Например, в десятичной системе есть цифры от 0 до 9, а в двоичной — только 0 и 1. Если знать допустимый набор, можно проверить, подходит ли запись для выбранной системы.
Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. Цифра 3 в записи 30 означает три десятка, а в записи 300 — три сотни. Это определение помогает не путать саму цифру с количеством, которое она обозначает в конкретном разряде.
Основание позиционной системы счисления — число, показывающее, сколько разных цифр используется и во сколько раз возрастает значение разряда. В десятичной системе основание равно 10, а в двоичной — 2. Знание основания позволяет определить допустимые цифры и понять, как устроены разряды.
Число можно записывать разными системами счисления, потому что для записи количества можно выбрать разные знаки и правила их сочетания. Например, число десять записывается как 10 в десятичной системе и как 1010₂ в двоичной. По одной записи нельзя понять, какое число имелось в виду, если неизвестна система. Поэтому основание иногда указывают маленькой цифрой справа внизу: ₂ означает двоичную запись.
В позиционной системе место цифры важно, потому что каждый следующий разряд обозначает количество, в несколько раз большее предыдущего. В десятичной записи справа стоят единицы, левее — десятки, затем сотни. Поэтому цифра 4 в числах 4, 40 и 400 обозначает разные количества. Разряд показывает не только саму цифру, но и её вклад во всё число.
Основание задаёт набор цифр, поскольку в такой системе считают, используя ровно столько разных цифр, сколько указывает основание. В системе с основанием 2 это 0 и 1: следующей цифры 2 в наборе нет, поэтому после 1 запись переходит к новому разряду. В десятичной системе основание 10, и для одного разряда доступны цифры от 0 до 9. Так основание связано и с выбором знаков, и с устройством разрядов.
Запись позиционного числа можно представить как сумму значений его разрядов: каждую цифру умножают на степень основания, соответствующую её месту. Крайний правый разряд связан с основанием в нулевой степени, следующий — в первой, затем идут вторая и следующие степени. Например, в десятичной записи 23 цифра 2 стоит в разряде десятков, а 3 — в разряде единиц. Такое разложение помогает вычислить значение записи и переводить числа между системами.
Непозиционная система устроена иначе: значение знака не определяется его местом через разрядные степени. Например, в римской записи I означает один, V — пять, а X — десять; число составляют по правилам сочетания этих знаков. В XXIII каждый знак X, V или I сохраняет своё значение, хотя правила записи всё равно нужно соблюдать. Сравнение показывает особенность позиционной системы: в ней один и тот же знак меняет вклад в число в зависимости от разряда.
| Характеристика | Десятичная система | Двоичная система | Римская запись |
|---|---|---|---|
| Тип системы | Позиционная | Позиционная | Непозиционная |
| Основание | 10 | 2 | Нет |
| Используемые цифры или знаки | Цифры 0–9 | Цифры 0 и 1 | I, V, X, L, C, D, M и другие знаки |
| Как определяется значение знака | По цифре и разряду | По цифре и разряду | По значению знака и правилам сочетания |
| Пример записи числа | 23 | 10111₂ | XXIII |
Сначала по строке «Тип системы» проверь, зависит ли значение знака от его места. Затем сравни основания и допустимые знаки: это поможет заметить, почему в двоичной записи нельзя использовать цифры 2–9. Последняя строка показывает, как одно и то же число выглядит в трёх системах.
Нужно понять, какие разряды заняты цифрами числа 23. В десятичной системе соседние разряды отличаются в 10 раз, поэтому цифра слева обозначает десятки, а справа — единицы. Запишем каждую цифру как произведение на степень основания 10.
Ответ: 23 = 2 × 10¹ + 3 × 10⁰.
Индекс 2 показывает, что число записано в двоичной системе, а значит, разряды связаны со степенями двойки. Начинаем отсчёт степеней справа налево с нуля. Нулевой разряд тоже учитываем: его слагаемое будет равно нулю.
Ответ: 1011₂ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 11₁₀.
При делении на 2 остаток каждый раз равен 0 или 1 — именно такие цифры разрешены в двоичной системе. Остатки записываются справа налево относительно деления, поэтому в конце их нужно прочитать в обратном порядке. Проверим результат разложением по степеням двойки.
Ответ: 19₁₀ = 10011₂.
Считать, что цифра всегда имеет одно и то же значение. Так думают, потому что называют цифру и её разряд одним словом, хотя это разные вещи. В позиционной записи цифра 5 может обозначать пять единиц или пять десятков. Проверь себя: назови разряд цифры и умножь её на значение этого разряда.
Использовать в системе недопустимую цифру. Ошибка возникает, если переносить привычный набор десятичных цифр в другую систему. Например, в двоичной записи цифры 2 быть не может, поскольку там допустимы только 0 и 1. Для проверки сверь каждую цифру с основанием системы: она должна быть меньше основания.
Путать основание с количеством разрядов или цифр в конкретной записи. Основание — постоянная характеристика системы, а длина записи зависит от числа. Например, запись 1011₂ состоит из четырёх разрядов, но основание системы равно 2. Проверь себя: основание указывают для всей системы, а количество разрядов считают в конкретном числе.
При переводе из двоичной системы использовать степени 10. Это происходит, если ученик по привычке раскладывает число так же, как десятичное. В двоичной записи основание равно 2, поэтому разряды справа налево связаны со степенями 2. Перед вычислением посмотри на основание, а после разложения сложи полученные значения и проверь результат.
Чтобы разбираться в системах счисления, нужно знать разряды натурального числа и понимать, что значение цифры в десятичной записи зависит от её места. Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых показывает, откуда берутся степени основания в позиционной системе. Позже эти знания помогут понять двоичную запись данных и способы представления информации в информатике. Так математика объясняет, почему компьютеры используют последовательности из нулей и единиц.
Чем система счисления отличается от набора цифр?
Набор цифр — это знаки, которыми можно записывать числа. Система счисления включает не только эти знаки, но и правила их использования и определения значения записи.
Почему в двоичной системе нельзя записать цифру 2?
В двоичной системе допустимы только две цифры: 0 и 1. Цифра 2 не входит в этот набор, поэтому запись с ней не будет двоичной.
Как понять значение цифры в позиционной записи?
Нужно определить место цифры, то есть её разряд. Затем умножить её значение на соответствующую этому разряду степень основания и учесть остальные разряды.
Почему разряды двоичного числа связаны со степенями двойки?
Основание двоичной системы равно 2, поэтому при переходе на один разряд влево значение разряда увеличивается в 2 раза. Справа налево разрядам соответствуют степени 2: 2⁰, 2¹, 2² и так далее.
Как перевести число из десятичной системы в двоичную?
Можно делить число на 2 и каждый раз записывать остаток. Когда частное станет равно нулю, остатки читают в обратном порядке — от последнего к первому.
6*. О системах счисления
