4. Деление рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю. Например, целые числа 5 и −2 можно представить как 5/1 и −2/1, а числа 3/7 и −4/9 уже записаны в виде дробей. Это определение объединяет целые числа и дроби в одну группу. Оно нужно, чтобы применять к ним общие правила вычислений.

Деление рациональных чисел — действие, при котором по делимому и делителю находят частное. В записи a : b число a называют делимым, b — делителем, а результат действия — частным. Например, в записи 12 : 3 = 4 делимое равно 12, делитель — 3, частное — 4. Эти названия помогают понимать, какое число делят и какое получают.

Обратным данному ненулевому числу называют такое число, произведение которого с исходным числом равно 1. Например, для 4 обратное число — 1/4, потому что 4 × 1/4 = 1; для 2/3 обратное — 3/2. У дроби, не равной нулю, для нахождения обратной меняют местами числитель и знаменатель. Это понятие позволяет заменить деление умножением.

Частное рациональных чисел — результат деления одного рационального числа на другое. Делитель при этом обязательно должен отличаться от нуля: выражение a : 0 не имеет значения. Например, 0 : 5 = 0, а 5 : 0 выполнить нельзя. Ограничение нужно учитывать прежде, чем начинать вычисления.

Как это устроено

Деление связано с умножением как обратное к нему действие. Если a : b = c, то c × b = a: частное должно восстановить делимое при умножении на делитель. Например, 18 : 3 = 6, потому что 6 × 3 = 18. Проверка умножением помогает убедиться, что частное найдено верно.

Чтобы разделить одно ненулевое рациональное число на другое, деление заменяют умножением на число, обратное делителю: a : b = a × 1/b, если b ≠ 0. Причина в том, что обратное к b число при умножении на b даёт 1, поэтому полученное произведение сохраняет нужную связь с делимым. Например, 12 : 4 можно записать как 12 × 1/4, то есть 3. Это правило действует и для дробных, и для целых делителей.

Знак частного зависит от знаков и делимого, и делителя. Если знаки одинаковые, частное положительное: при умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительный результат, и деление подчиняется тому же правилу знаков. Если знаки разные, частное отрицательное. Сначала можно определить знак, а затем разделить модули чисел, то есть их значения без знака.

При делении нуля на ненулевое число получается ноль, потому что 0 × b = 0 при любом b. Делить на ноль нельзя: не существует единственного числа, которое можно было бы назвать частным. Если делимое не равно нулю, умножение предполагаемого частного на ноль всё равно даст ноль, а не делимое. Поэтому ноль нельзя использовать и как делитель, и как число, для которого ищут обратное.

При делении дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй: a/b : c/d = a/b × d/c, если c/d ≠ 0. Обращают именно делитель, потому что правило требует умножения на число, обратное ему; делимое остаётся на месте. Например, 2/3 : 5/7 = 2/3 × 7/5 = 14/15. До умножения или после него можно сократить общие множители числителя и знаменателя, если дробь записана как произведение.

Знаки частного рациональных чисел

Сначала найди в таблице строку с нужными знаками делимого и делителя. Она подскажет знак частного, а пример поможет проверить правило. После этого вычисли частное модулей чисел.

Разбор задач

Вычислите 18 : (−3).

1. Делимое положительное, а делитель отрицательный, поэтому частное будет отрицательным.
2. Разделим модули чисел: 18 : 3 = 6.
3. Поставим перед результатом знак минус: 18 : (−3) = −6.

Ответ: −6. Проверка: −6 × (−3) = 18, значит, частное действительно даёт делимое при умножении на делитель.

Вычислите (−5/8) : (15/16).

1. Знаки делимого и делителя разные, поэтому ответ будет отрицательным.
2. Обратная дробь к делителю 15/16 — это 16/15. Делимое −5/8 не обращаем, а меняем деление на умножение: (−5/8) × (16/15).
3. Сократим общие множители: 16 и 8 делятся на 8, а 5 и 15 — на 5. Получим (−1) × 2/3 = −2/3.

Ответ: −2/3. Проверка умножением: (−2/3) × (15/16) = −5/8. Проверка подтверждает, что найденное число при умножении на делитель даёт исходное делимое.

Найдите x, если x : (−3/5) = 2/7.

1. В равенстве частное равно 2/7, а делитель — −3/5. По смыслу деления частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.
2. Умножим обе части равенства на −3/5. Слева деление на −3/5 и умножение на −3/5 взаимно уничтожаются, поэтому x = (2/7) × (−3/5).
3. Перемножим числители и знаменатели: x = −6/35. Знак отрицательный, поскольку множители имеют разные знаки.

Ответ: x = −6/35. Проверим подстановкой: (−6/35) : (−3/5) = (−6/35) × (−5/3) = 30/105 = 2/7. Получили правую часть исходного равенства, значит, значение найдено верно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — оставить деление вместо умножения на обратное число или обратить не ту дробь. Так бывает, когда помнят слово «обратить», но не связывают его с делителем. При делении дробей переверни только дробь после знака деления, а затем проверь вычисление умножением результата на делитель.

Вторая ошибка — определить знак частного только по знаку делимого. Однако знак зависит от обоих чисел: например, положительное число, делённое на отрицательное, даёт отрицательный результат. Перед вычислением отдельно запиши знаки делимого и делителя и сравни их. Одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

Третья ошибка — пытаться обратить ноль или делить на ноль. Нулевого числа, обратного нулю, нет: произведение нуля на любое число равно нулю, а не единице. Перед применением правила проверь, что делитель не равен нулю. Если делитель нулевой, вычисление остановить нужно именно на этом шаге.

Четвёртая ошибка — сокращать отдельные цифры числителя и знаменателя, а не общие множители. Например, сокращать можно множители 5 в произведении 5 × 2 и 5 × 3, но нельзя просто вычёркивать одинаковые цифры в разных числах. Сначала разложи выражение на множители и найди общий множитель числителя и знаменателя. Проверка состоит в том, что исходное значение дроби при сокращении не меняется.

Связь с другими темами

Для деления рациональных чисел пригодятся навыки умножения и деления обыкновенных дробей, а также умение находить противоположные числа. Нужно помнить, как определяются знаки произведения: те же правила знаков применяются и к частному. Деление связано с уравнениями и нахождением неизвестного множителя: если известно произведение и один множитель, деление помогает найти другой. Поэтому эти правила используются и в вычислениях с дробями, и при решении задач.

Что запомнить

• Делить можно только на число, отличное от нуля.
• Деление на ненулевое число заменяется умножением на обратное ему число.
• Одинаковые знаки делимого и делителя дают положительное частное.
• Разные знаки делимого и делителя дают отрицательное частное.
• Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю.
• При делении дробей обращают делитель, а не делимое.