3. Умножение рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные десятичные дроби: например, 4 = 4/1, ½ и 0,75. Такое определение позволяет применять к разным видам чисел одни и те же правила вычислений.

Произведение рациональных чисел — результат умножения двух рациональных чисел. Его записывают как a · b, а знак умножения часто опускают: ab. Понимание этих обозначений нужно, чтобы читать формулы и быстро записывать выражения.

Правило знаков определяет знак произведения по знакам множителей. У чисел с одинаковыми знаками произведение положительно, а у чисел с разными знаками — отрицательно. Сначала можно определить знак, а потом вычислить величину произведения.

Как это устроено

При умножении на положительное число знак числа не меняется, меняется только его величина. Например, 3 · 2 = 6, а (−3) · 2 = −6: отрицательное число стало по модулю в два раза больше. Поэтому при умножении числа на положительную дробь результат сохраняет его знак.

Положительность произведения двух отрицательных чисел следует из распределительного свойства. Рассмотрим равенство (−a) · (b + (−b)) = 0, где a и b положительны. После раскрытия скобок получаем (−a) · b + (−a) · (−b) = 0; первое слагаемое равно −ab, значит, второе должно быть ab, чтобы сумма стала нулём. Поэтому (−a) · (−b) = ab.

Модуль произведения находят отдельно от его знака: |a · b| = |a| · |b|. Сначала перемножьте положительные модули множителей, а затем поставьте знак по правилу знаков. Такой порядок уменьшает риск перепутать знак и сам результат.

Для дробей перемножают числители между собой, а знаменатели — между собой: m/n · p/q = mp/nq. Знаки учитывают отдельно или оставляют их в числителях, после чего дробь сокращают. Сокращение до умножения тоже разрешено и часто делает вычисления проще.

Умножение рациональных чисел обладает переместительным свойством ab = ba, сочетательным свойством (ab)c = a(bc) и распределительным свойством a(b + c) = ab + ac. Благодаря первым двум свойствам можно менять порядок и группировать множители. Распределительное свойство помогает раскрывать скобки или, наоборот, выносить общий множитель.

Знак и модуль произведения рациональных чисел

Сначала найдите строку, соответствующую знакам множителей. Затем перемножьте их модули и поставьте указанный знак. Если среди множителей есть ноль, вычисления можно сразу остановить: произведение равно нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (−7) · 4.

Множители имеют разные знаки: первый отрицательный, второй положительный. Значит, произведение будет отрицательным. Осталось перемножить модули чисел.

1. Находим модули: |−7| = 7 и |4| = 4.
2. Перемножаем модули: 7 · 4 = 28.
3. Возвращаем отрицательный знак: получаем −28.

Ответ: −28. Проверка показывает, что по модулю результат в 4 раза больше числа 7, а знак отрицательный.

Задача 2. Вычислите (−3/5) · (−10/9) и запишите ответ в сокращённом виде.

Оба множителя отрицательные, поэтому произведение будет положительным. Дроби можно сократить до перемножения: 10 и 5 имеют общий делитель 5, а 3 и 9 — общий делитель 3. Так вычисления становятся короче.

1. Сокращаем крест-накрест: 3/5 · 10/9 = 1/1 · 2/3.
2. Перемножаем числители и знаменатели: 1 · 2/(1 · 3) = 2/3.
3. Ставим знак плюс, так как отрицательных множителей два.

Ответ: 2/3. Полученная дробь уже несократима, потому что 2 и 3 не имеют общего делителя, кроме 1.

Задача 3. Вычислите (−2,4) · 1,25 · (−4), выбрав удобный порядок действий.

В выражении два отрицательных множителя, поэтому итоговый знак будет положительным. Переместим множители и объединим 1,25 с 4, так как их произведение легко найти. Затем умножим получившийся результат на 2,4.

1. Перегруппировываем множители: (−2,4) · (−4) · 1,25.
2. Перемножаем 4 и 1,25: 4 · 1,25 = 5.
3. Вычисляем (−2,4) · (−5) = 12.

Ответ: 12. Два минуса дали плюс, а выбранная группировка избавила от неудобного умножения 2,4 на 1,25.

Типичные ошибки

Ошибка: считать произведение двух отрицательных чисел отрицательным. Так происходит из-за привычки связывать минус только с уменьшением числа. Проверьте себя: при двух отрицательных множителях знак меняется дважды, поэтому результат положительный.

Ошибка: умножать модуль одного множителя и забывать про знак второго. Обычно ученик правильно находит величину, но записывает неверный знак. Сначала определите знак произведения отдельно, а затем умножайте модули.

Ошибка: складывать числители и знаменатели при умножении дробей. Сложение относится к другой операции, поэтому такой способ смешивает разные правила. Проверьте запись: при умножении должны получиться произведения числителей и произведения знаменателей.

Ошибка: считать, что ноль обнуляет произведение только при двух нулевых множителях. На самом деле достаточно одного нулевого множителя: a · 0 = 0. Перед вычислениями просмотрите все множители и сразу используйте это свойство.

Связь с другими темами

До умножения рациональных чисел нужно знать таблицу умножения, правила действий с положительными числами, обыкновенными и десятичными дробями. Также понадобятся понятия противоположных чисел и модуля числа. Они помогают разделить вычисление на работу со знаком и величиной.

Правило знаков и свойства умножения используются при делении рациональных чисел, упрощении выражений и решении уравнений. Умение менять порядок множителей помогает быстрее считать сложные выражения. Распределительное свойство связывает умножение со сложением и раскрытием скобок.

Что запомнить

• Модуль произведения равен произведению модулей множителей.
• Множители одинаковых знаков дают положительное произведение.
• Множители разных знаков дают отрицательное произведение.
• Произведение любого числа и нуля равно нулю.
• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Переместительное и сочетательное свойства позволяют менять порядок и группировать множители.