"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Умножение рациональных чисел помогает находить произведение целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей, в том числе отрицательных. Чтобы выполнить действие, сначала определяют знак результата по знакам множителей, а затем перемножают их модули. Для дробей можно заранее выполнить сокращение, а свойства умножения помогают сгруппировать числа удобным образом. Эти правила нужны при вычислениях, преобразовании выражений и решении уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение рациональных чисел — результат умножения двух или нескольких рациональных чисел. Рациональными называют числа, которые можно записать в виде дроби, в том числе целые числа и конечные десятичные дроби. Произведение показывает, каким числом можно заменить выполненное умножение, и помогает рассчитывать значения выражений.
Правило знаков при умножении говорит: произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, а с разными — отрицательно. Например, у произведения (−4) · (−2) знак плюс, а у (−4) · 2 знак минус. Это правило нужно применять до вычисления числовой части, чтобы не перепутать знак ответа.
Модуль произведения равен произведению модулей множителей. Модуль — это расстояние числа от нуля, поэтому он не бывает отрицательным. Чтобы найти произведение, сначала перемножают модули, а знак результата устанавливают отдельно; так вычисление разбивается на два простых шага.
Множители — числа, которые перемножают, а произведение — полученный результат. В записи 5 · (−3) числа 5 и −3 являются множителями, а −15 — произведением. Эти названия помогают точно объяснять вычисления и понимать, к каким числам относятся правила умножения.
Знак результата зависит от того, в какую сторону умножение изменяет число. Если умножить положительное число на положительное, получим положительное: например, 3 · 2 = 6. Умножение на отрицательное число меняет направление на противоположное, поэтому один отрицательный множитель даёт отрицательный результат. Если отрицательных множителей два, направление меняется дважды и знак снова становится положительным. Этим объясняется правило: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
При вычислении сначала удобно отделить знак от чисел. Например, в выражении (−6) · 4 знаки разные, поэтому ответ будет отрицательным, а модуль равен 6 · 4 = 24. Получается −24. Такой порядок помогает не смешивать вычисление числовой части с определением знака и особенно полезен, когда множителей несколько.
Обыкновенные дроби умножают так: числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель. Это правило соответствует умножению частей целого и сохраняет значение дроби. Перед вычислением дроби полезно сократить: например, общий делитель числителя одной дроби и знаменателя другой можно разделить сразу в обеих частях. Тогда числа будут меньше, а вероятность ошибки — ниже.
Десятичные дроби можно умножать, временно не обращая внимания на запятые: сначала перемножить числа, записанные без запятых, а затем отделить справа столько цифр, сколько знаков после запятой было в обоих множителях вместе. Если формы записи разные, выбирай удобную: десятичную дробь можно превратить в обыкновенную, например 0,5 = ½. Удобная запись позволяет легче сократить числа или выполнить умножение в уме.
Свойства умножения помогают менять порядок и группировать множители: от этого значение произведения не меняется. Например, можно сначала перемножить те числа, которые дают круглое число или легко сокращаются. Для проверки оцени знак и примерный размер ответа: произведение двух чисел, меньших единицы по модулю, должно быть меньше каждого из них по модулю. Такая проверка часто обнаруживает потерянный знак или ошибку в запятой.
| Знак первого множителя | Знак второго множителя | Знак произведения | Модуль произведения |
|---|---|---|---|
| + | + | + | Произведение модулей множителей |
| − | − | + | Произведение модулей множителей |
| + | − | − | Произведение модулей множителей |
| − | + | − | Произведение модулей множителей |
Сначала найди строку, в которой указаны знаки обоих множителей, и определи знак ответа. Затем перемножь модули этих чисел: полученное число будет модулем произведения. Если множителей больше двух, можно считать количество отрицательных знаков: чётное количество даёт плюс, нечётное — минус.
Задача. Вычислить: (−7) · 4. Нужно отдельно определить знак и числовую часть, чтобы отрицательное число не заставило ошибиться при умножении модулей. У множителей разные знаки, значит, произведение будет отрицательным. Теперь достаточно перемножить их модули.
Ответ: −28. Проверка проста: положительное и отрицательное числа должны дать отрицательное произведение. Модуль результата равен обычному произведению 7 и 4.
Задача. Вычислить: (−3/5) · (10/21). Здесь дроби удобно сократить до умножения, а знак определить отдельно. Числитель 10 и знаменатель 5 делятся на 5, а 3 и 21 — на 3. После сокращения перемножать придётся меньшие числа.
Ответ: −2/7. Сокращение не изменило значение произведения, а сделало вычисление короче. Проверка знака подтверждает, что ответ отрицательный.
Задача. Вычислить удобным способом: (−2,5) · 16 · (−0,4). Здесь три множителя, и прямое умножение можно упростить, переставив и сгруппировав их. Два отрицательных множителя дают положительное произведение, поэтому результат должен быть положительным. Поищем пару чисел, которую легко перемножить.
Ответ: 16. Такой порядок удобнее, чем сначала умножать 16 на десятичную дробь. Знак и вычисления согласуются: два отрицательных множителя дают положительный результат.
Иногда знак произведения определяют только по одному множителю и забывают сравнить знаки обоих. Из-за этого, например, в произведении двух отрицательных чисел ошибочно ставят минус. Перед вычислением выпиши знаки обоих множителей или посчитай отрицательные множители, а затем проверь, соответствует ли ответ правилу знаков.
Другая ошибка — считать произведение двух отрицательных чисел отрицательным, перенося на умножение правило сложения. При сложении знаки действительно требуют отдельного разбора, но для умножения действует своё правило: одинаковые знаки дают плюс. Чтобы проверить себя, возьми простой пример: (−2) · (−3) = 6, а не −6.
При умножении дробей иногда перемножают числа крест-накрест, как при сравнении дробей. Но крест-накрест умножают, когда сравнивают дроби, а при умножении числители перемножают с числителями и знаменатели — со знаменателями. Запиши результат как одну дробь и проверь, что в числителе стоят два числителя, а в знаменателе — два знаменателя.
В десятичных дробях можно неверно посчитать знаки после запятой или потерять ноль в результате. Это происходит, если записывать запятую на глаз, не считая знаки в обоих множителях. Сначала умножь числа без запятых, затем отсчитай справа нужное общее количество знаков; если цифр не хватает, допиши ноль слева от них.
Для умножения нужны знания о положительных и отрицательных числах, модуле числа, а также правилах действий с обыкновенными и десятичными дробями. Модуль помогает вычислить числовую часть произведения, а знание дробей — правильно перемножить числители и знаменатели. Поэтому полезно уверенно выполнять эти действия отдельно от определения знака.
Умножение рациональных чисел пригодится при решении уравнений и преобразовании выражений. Оно также встречается при работе с координатами и величинами с разными знаками, например при описании изменения температуры или направления движения. Правильный знак помогает понять, в какую сторону направлен результат.
Дальше эти правила понадобятся при делении рациональных чисел и раскрытии скобок. Они также используются вместе с распределительным свойством, когда множитель умножают на сумму или разность. Освоив правило знаков и свойства умножения, легче выполнять длинные вычисления.
Почему произведение двух отрицательных чисел положительно?
Это следует из распределительного свойства умножения. Например, равенство (−3) · (−2) = 6 согласуется с тем, что 0 = (−3) · (2 + (−2)) = −6 + (−3) · (−2). Значит, второе произведение должно быть равным 6.
Как быстро определить знак произведения нескольких множителей?
Посчитай, сколько среди множителей отрицательных чисел. Если их количество чётное, произведение положительно, если нечётное — отрицательно. Если есть множитель 0, всё произведение равно нулю.
Можно ли сокращать дроби до умножения?
Да, это удобно: числитель одной дроби можно сократить со знаменателем другой, разделив их на общий делитель. Сокращение не меняет значение произведения, зато числа для умножения становятся меньше.
Как умножить отрицательную дробь на десятичную дробь?
Сначала определи знак: при разных знаках произведение отрицательное. Затем представь оба числа в удобной форме, например переведи десятичную дробь в обыкновенную, найди произведение модулей и поставь минус.
Что делать, если среди множителей есть ноль?
Сразу записать, что произведение равно нулю. По свойству умножения ноль, умноженный на любое число, даёт ноль, поэтому остальные множители вычислять не нужно.
7.6. Умножение рациональных чисел
