3. Умножение рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. К ним относятся целые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Это определение позволяет применять к разным видам чисел одни и те же правила действий.

Произведение рациональных чисел — результат умножения этих чисел. Его находят умножением модулей множителей и выбором знака по их знакам. Такое представление помогает отдельно вычислить величину результата и не перепутать её со знаком.

Модуль произведения — произведение модулей множителей: |a · b| = |a| · |b|. Модуль показывает расстояние числа от нуля и не бывает отрицательным. Поэтому по модулям удобно выполнять само вычисление, не отвлекаясь на минусы.

Правило знаков при умножении: числа с одинаковыми знаками дают положительное произведение, а с разными — отрицательное. Знак сообщает, по какую сторону от нуля окажется результат. Это правило нужно применять до или после вычисления модулей, но не смешивать его с подсчётом величины.

Как это устроено

Чтобы найти произведение рациональных чисел, сначала определяют его знак, а затем умножают модули. Например, в произведении (−6) · 2 знаки разные, поэтому результат отрицательный, а его модуль равен 6 · 2. Такой порядок отделяет две разные задачи: вычисление размера числа и определение его положения относительно нуля.

Правило знаков связано с распределительным свойством. Из равенства 0 = a · (b + (−b)) следует, что a · b и a · (−b) должны быть противоположными числами, если a не равно нулю. Поэтому смена знака одного множителя меняет знак произведения, а смена знаков обоих множителей возвращает первоначальный знак.

При умножении дробей числители перемножают между собой, а знаменатели — между собой. Перед этим можно сократить общий множитель в числителе одной дроби и знаменателе другой, потому что деление числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет дробь. Сокращение уменьшает числа и делает вычисления удобнее.

Десятичные дроби можно умножать почти так же, как натуральные числа. Сначала запятые временно не учитывают, а затем отсчитывают справа количество знаков после запятой, равное их общему числу в множителях. Это работает потому, что каждая цифра после запятой означает деление на 10, 100, 1000 и так далее.

Умножение на особые числа помогает быстро упрощать выражения. Произведение любого числа и нуля равно нулю, потому что ноль частей любого числа всё равно даёт ноль. Умножение на 1 сохраняет число, а умножение на −1 сохраняет его модуль и меняет знак на противоположный.

Знак и модуль произведения рациональных чисел

Сначала найди строку, которая соответствует знакам множителей, и определи знак результата. Затем вычисли модуль произведения по последнему столбцу. Если среди множителей есть ноль, остальные знаки уже не имеют значения.

Для нескольких множителей применяй правило последовательно или посчитай отрицательные множители. Чётное количество минусов даёт положительный знак, нечётное — отрицательный.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (−7) · 4.

Множители имеют разные знаки, поэтому произведение будет отрицательным. Осталось найти его модуль, умножив 7 на 4.

1. Определяем знак: «минус» и «плюс» дают «минус».
2. Находим модуль: |−7| · |4| = 7 · 4 = 28.
3. Возвращаем знак: (−7) · 4 = −28.

Ответ: −28.

Задача 2. Вычислите (−3/5) · 10/9.

Знаки дробей разные, значит, ответ будет отрицательным. Перед перемножением удобно сократить 10 и 5, а также 3 и 9, чтобы не работать с большими числами.

1. Определяем знак произведения: он отрицательный.
2. Сокращаем крест-накрест: 10 : 5 = 2, 9 : 3 = 3.
3. Перемножаем оставшиеся числитель и знаменатель: −(1 · 2)/(1 · 3) = −2/3.

Ответ: −2/3.

Задача 3. Вычислите (−1,2) · (−2 1/2) · 0,4.

В произведении два отрицательных множителя, а третий положительный. Два минуса дают плюс, поэтому можно считать модули и не ставить знак до конца. Удобно сгруппировать первые два числа: 2 1/2 = 2,5.

1. Определяем знак: два отрицательных множителя дают положительный результат.
2. Вычисляем первую пару: 1,2 · 2,5 = 3.
3. Умножаем полученное число: 3 · 0,4 = 1,2.
4. Записываем найденный положительный результат.

Ответ: 1,2.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что произведение всегда положительно. Так бывает только при одинаковых знаках; при разных знаках результат отрицателен. Проверь себя: сначала назови знаки обоих множителей.

Ошибка 2. Оставлять минус при умножении двух отрицательных чисел. У одинаковых знаков произведение положительно, потому что два изменения направления возвращают к плюсу. Проверь запись, посчитав количество минусов.

Ошибка 3. Складывать числители и знаменатели дробей. При умножении числитель умножают на числитель, а знаменатель — на знаменатель; сложение относится к другому действию. Проверь, не появились ли в решении знаки «плюс» между частями дробей.

Ошибка 4. Неверно ставить запятую в произведении десятичных дробей. Количество знаков после запятой в ответе равно их общему количеству в множителях. Для проверки пересчитай знаки в обоих исходных числах и отсчитай их справа в результате.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь находить модуль и противоположное число, сравнивать рациональные числа, сокращать дроби, а также умножать обыкновенные и десятичные дроби. Эти навыки используются в каждом вычислении.

Умножение рациональных чисел понадобится при делении рациональных чисел, раскрытии скобок и упрощении выражений. Без уверенного правила знаков легко ошибиться в длинной записи.

Правило знаков помогает находить значения выражений и решать уравнения с отрицательными числами. Оно также подготавливает к действиям с рациональными выражениями.

Что запомнить

• Модуль произведения равен произведению модулей: |a · b| = |a| · |b|.
• Множители с одинаковыми знаками дают положительное произведение.
• Множители с разными знаками дают отрицательное произведение.
• Произведение любого числа на ноль равно нулю.
• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Произведение двух отрицательных чисел положительно.