"Математика (в 2 книгах)", Александрова Э.И.
Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием: множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри них. Благодаря этому можно раскрывать скобки, упрощать выражения и считать удобнее. Преобразование работает и в обратную сторону: одинаковый множитель у нескольких слагаемых выносят за скобки. Главное — не пропустить ни одно слагаемое и сохранить его знак.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое. Например, a(b + c) = ab + ac. Это правило позволяет заменить одно действие с выражением в скобках двумя умножениями и сложением, а также выбирать удобный способ вычисления.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания: произведение числа на разность равно разности произведений этого числа на уменьшаемое и вычитаемое. Запись правила: a(b − c) = ab − ac. Оно нужно, чтобы раскрывать скобки с разностью, не теряя знак минус у второго произведения.
Раскрытие скобок — замена произведения числа на сумму или разность соответствующей суммой или разностью произведений. Например, 3(x + 2) превращается в 3x + 6. Это преобразование помогает считать выражения по частям и упрощать буквенные записи.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное раскрытию скобок преобразование, при котором общий множитель записывают перед скобками. Например, ab + ac = a(b + c). Оно полезно, когда нужно представить сумму произведений как одно произведение или упростить выражение.
Возьмём 4·(10 + 2). В скобках находятся две части: десять и два, и каждую из них нужно взять четыре раза. Поэтому можно отдельно вычислить 4·10 и 4·2, а затем сложить результаты: 40 + 8 = 48. Ответ такой же, как при сначала выполненном сложении 10 + 2 и последующем умножении на 4.
Причину свойства можно увидеть на одинаковых группах предметов. Пусть в каждой коробке лежат 10 красных и 2 синих карандаша, а коробок четыре. Общее количество можно найти, сложив содержимое коробок: четыре раза по 12. Но удобнее сначала посчитать красные карандаши во всех коробках, затем синие и сложить результаты: 4·10 + 4·2.
Правило для разности следует из правила для суммы. Разность b − c можно представить как сумму b и числа, противоположного c: b + (−c). Тогда a(b − c) = a(b + (−c)) = ab + a(−c) = ab − ac. Поэтому при раскрытии скобок множитель умножается на оба числа, а произведение вычитаемого остаётся со знаком минус.
Свойство помогает выбирать такие слагаемые, с которыми легче умножать устно. Например, 7·19 можно записать как 7·(20 − 1): получаем 140 − 7 = 133. Можно разбить и множитель: 12·5 = (10 + 2)·5 = 50 + 10. В обоих случаях вычисление заменяется более удобными действиями, но значение выражения не меняется.
Преобразование можно выполнить в обратную сторону, если у слагаемых есть общий множитель. Например, 6·4 + 6·3 содержит множитель 6 в обоих слагаемых. По распределительному свойству сумму можно записать как 6·(4 + 3). В буквенном выражении действуют так же: нужно найти общий числовой или буквенный множитель и записать в скобках оставшиеся части слагаемых.
| Случай | Запись | Что сделать при раскрытии скобок |
|---|---|---|
| Умножение числа на сумму | a(b + c) = ab + ac | Умножить внешний множитель на каждое слагаемое; между произведениями поставить плюс. |
| Умножение числа на разность | a(b − c) = ab − ac | Умножить внешний множитель на оба числа; сохранить знак минус между произведениями. |
| Вынесение общего множителя | ab + ac = a(b + c) | Найти общий множитель и записать в скобках результаты деления слагаемых на него. |
В таблице сначала найдите нужный случай: множитель перед скобками означает раскрытие, а общий множитель в слагаемых — возможность вынести его. Следите за знаками и проверяйте, что множитель учтён у каждого слагаемого. При сомнении выполните обратное преобразование и сравните исходную запись.
Задача 1. Вычислите 8·(20 + 3). Скобки содержат круглое число 20 и небольшое слагаемое 3, поэтому удобно умножить 8 на каждую часть отдельно. Такой способ позволяет не выполнять сначала сложение, а затем умножение. После раскрытия скобок останется сложить два простых результата.
Ответ: 184. Проверка: 20 + 3 = 23, а 8·23 = 184. Получилось то же значение, значит, раскрытие скобок выполнено верно.
Задача 2. Упростите выражение 5·(2x − 7) + 3x. Сначала раскроем скобки: внешний множитель 5 относится и к 2x, и к −7. Затем объединим слагаемые с x, поскольку они имеют одинаковую буквенную часть. Числовое слагаемое −35 сложить с ними нельзя: в нём нет множителя x.
Ответ: 13x − 35. Проверка распределения: при раскрытии из 5·(2x − 7) получились оба произведения — 10x и −35. Слагаемое 3x осталось в выражении и было учтено при приведении подобных.
Задача 3. Представьте выражение 18a + 24b в виде произведения. В буквенных частях слагаемых стоят разные буквы, поэтому общего буквенного множителя у них нет. Зато оба числовых коэффициента делятся на 6, и это наибольший общий числовой множитель чисел 18 и 24. Вынесем его, разделив каждый коэффициент на 6.
Ответ: 6(3a + 4b). Проверим раскрытием скобок: 6·3a + 6·4b = 18a + 24b. Получилось исходное выражение, значит, общий множитель вынесен верно.
Иногда внешний множитель умножают только на первое слагаемое: например, ошибочно превращают 3(a + 2) в 3a + 2. Так происходит, если воспринимать скобки как одно целое и не проследить за каждым слагаемым. Проверка проста: выпишите произведение множителя с каждой частью, здесь правильная запись — 3a + 6.
При раскрытии скобок с разностью можно потерять знак вычитаемого: например, записать 4(x − 5) как 4x + 20. Ошибка возникает, если умножают на число 5, но забывают, что оно вычиталось. Учитывайте знак вместе с числом: 4·(−5) = −20, поэтому правильный результат — 4x − 20.
Некоторые ученики меняют знаки слагаемых при любом раскрытии скобок. Но само распределительное свойство знаки не меняет: в выражении 2(a + 3) остаются два плюса, и получается 2a + 6. Чтобы проверить себя, сопоставьте исходные знаки с записью после умножения; минус появится только там, где он был в разности.
При вынесении множителя ошибаются, если делят на него не каждое слагаемое или неверно находят частное. Например, для 12x + 18 можно вынести 6, но в скобках должны стоять 2x и 3. Проверьте каждое деление по отдельности, а затем раскройте скобки: 6(2x + 3) = 12x + 18.
Для работы со свойством нужно уметь умножать и складывать, понимать смысл скобок и различать слагаемое и множитель. Слагаемые соединяются знаками плюс или минус, а множители перемножаются; это помогает увидеть, какие части выражения участвуют в преобразовании. Если эти понятия понятны, легче не пропустить знак или множитель.
Свойство пригодится при устных вычислениях, упрощении буквенных выражений и решении уравнений. Например, раскрытие скобок позволяет привести подобные слагаемые, а вынесение общего множителя помогает представить выражение в более удобном виде. Эти преобразования сохраняют значение выражения, поэтому их можно использовать, чтобы упростить дальнейшие вычисления.
Почему внешний множитель нужно умножать на каждое слагаемое?
Сумма в скобках означает несколько частей, а умножение на число повторяет каждую из них указанное число раз. Поэтому произведение числа на всю сумму равно сумме произведений этого числа на каждую часть. Если умножить только первое слагаемое, часть суммы останется без учёта.
Как раскрыть скобки, если внутри стоит разность?
Умножьте внешний множитель и на уменьшаемое, и на вычитаемое, сохранив между произведениями знак минус: a(b − c) = ab − ac. Например, 3(8 − 2) = 3·8 − 3·2.
Меняются ли знаки слагаемых при раскрытии скобок?
При обычном раскрытии скобок знаки внутри не меняются: плюс остаётся плюсом, минус — минусом. Например, 4(x − 5) превращается в 4x − 20. Знак минус перед вторым произведением сохраняется.
Как понять, что общий множитель можно вынести за скобки?
Проверьте, делится ли каждое слагаемое на одно и то же число или содержит ли оно одну и ту же буквенную часть. Общий множитель запишите перед скобками, а в скобках укажите результат деления каждого слагаемого на него. Проверьте результат раскрытием скобок.
Можно ли применить распределительное свойство в обратном направлении?
Да. Если слагаемые имеют общий множитель, его можно вынести за скобки: ab + ac = a(b + c). Это помогает представить выражение в виде произведения и иногда упрощает дальнейшие вычисления.
Распределительное свойство умножения
