§ 2. Арифметика рациональных чисел.

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Это понятие объединяет целые числа и дроби: например, 5 можно записать как 5/1, а −2 — как −2/1. Одно число может иметь разные дробные записи, например ½ и 2/4. Так удобнее выбирать запись для сравнения чисел и вычислений.

Противоположные числа — числа, сумма которых равна нулю. На координатной прямой они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него: например, 4 и −4. У них одинаковые модули, но разные знаки. Понятие противоположного числа помогает заменять вычитание сложением.

Модуль числа — расстояние от точки, соответствующей числу, до нуля на координатной прямой. Модуль обозначают вертикальными чертами: |−6| = 6 и |6| = 6. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда неотрицателен. Сравнение модулей помогает определить знак суммы чисел с разными знаками.

Арифметические действия с рациональными числами — сложение, вычитание, умножение и деление чисел, записанных со знаком. При вычислениях отдельно рассматривают модуль и знак результата. Для сложения и вычитания пригодится координатная прямая, а для умножения и деления — правило знаков. Делить можно только на число, отличное от нуля.

Как это устроено

Целые числа можно представить дробями со знаменателем 1, а дроби уже описывают части целого. Поэтому целые числа и обыкновенные дроби можно рассматривать вместе как рациональные числа. Десятичные дроби тоже можно записать обыкновенной дробью: например, 0,5 = 5/10 = ½. Одно значение имеет несколько записей, потому что числитель и знаменатель можно умножить на одно и то же ненулевое число, не меняя дробь.

На координатной прямой числа располагаются по возрастанию слева направо: число правее другого — больше. Ноль разделяет положительные и отрицательные числа, поэтому противоположные числа лежат симметрично относительно него. Модуль показывает, насколько далеко точка от нуля, но не указывает направление. Например, −3 меньше 2, хотя |−3| = 3: сравнивать сами числа и сравнивать их модули — не одно и то же.

Если складываются числа с одинаковыми знаками, оба слагаемых направляют движение в одну сторону. Поэтому складывают их модули, а направление, то есть знак, сохраняют. При разных знаках одно движение частично компенсирует другое. Тогда нужно найти разность модулей, а знак результата взять у числа с большим модулем; при равных модулях движения полностью компенсируются, и сумма равна нулю.

Вычитание можно представить как движение в обратную сторону по сравнению с прибавлением вычитаемого. Поэтому вычесть положительное число — то же, что прибавить отрицательное, а вычесть отрицательное — то же, что прибавить положительное. Это приводит к правилу a − b = a + (−b). После такой замены применяют уже знакомые правила сложения чисел с одинаковыми или разными знаками.

При умножении и делении сначала определяют знак, а затем выполняют действие с модулями. Одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный: это правило согласуется с тем, что умножение на отрицательное число меняет направление. Деление связано с умножением и выполняется только при ненулевом делителе. Если делитель равен нулю, не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулимое делимое; поэтому деление на ноль не определено.

Правила действий с рациональными числами

Пользуйся таблицей в два шага: сначала определи нужную строку и знак результата, затем выполни действие с модулями. Для вычитания сначала обязательно замени вычитание сложением противоположного числа. При делении отдельно проверь, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Вычислите −7 + (−5).

Оба слагаемых отрицательные, значит, их движение по координатной прямой направлено в одну сторону — влево. Поэтому нужно сложить модули, а результат оставить отрицательным. Проверим вычисление: сумма двух чисел, каждое из которых меньше нуля, тоже должна быть меньше нуля.

1. Найдём модули: |−7| = 7 и |−5| = 5.
2. Сложим их: 7 + 5 = 12.
3. Поставим общий знак минус: −12.

Ответ: −12.

Вычислите 3,4 − 8,1.

Вычитание заменим сложением противоположного числа: вместо −8,1 прибавим число −8,1. Теперь слагаемые имеют разные знаки, поэтому модули не складывают, а находят их разность. Больший модуль равен 8,1, и он принадлежит отрицательному числу, значит, результат будет отрицательным.

1. Заменим вычитание сложением: 3,4 − 8,1 = 3,4 + (−8,1).
2. Вычтем меньший модуль из большего: 8,1 − 3,4 = 4,7.
3. Поставим знак числа с большим модулем: −4,7.

Ответ: −4,7.

Вычислите −⅔ · 9/10 + 1,2 : (−0,4).

Сначала выполним умножение и деление, а затем сложение. В произведении множители имеют разные знаки, поэтому результат отрицательный; в частном знаки тоже разные, значит, частное также отрицательное. После этого сложим два отрицательных числа: их модули нужно сложить и перед итогом поставить минус.

1. Выполним умножение: −⅔ · 9/10 = −18/30 = −3/5 = −0,6.
2. Выполним деление: 1,2 : (−0,4) = −3, так как 1,2 : 0,4 = 3.
3. Сложим результаты: −0,6 + (−3) = −3,6.

Ответ: −3,6.

Типичные ошибки

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, потому что переносят правило для одинаковых знаков на любой пример. Но разнонаправленные движения частично компенсируют друг друга, поэтому нужно вычитать меньший модуль из большего. Проверь, что результат по модулю меньше числа с наибольшим модулем. Например, для −8 + 3 результат не может быть −11.

При вычитании иногда оставляют знак вычитаемого и сразу пытаются сложить числа. Так теряется смысл действия: вычитание заменяют сложением противоположного числа, поэтому знак вычитаемого меняют на противоположный. Например, 5 − (−2) превращается в 5 + 2, а не в 5 + (−2). Для проверки запиши сначала равенство a − b = a + (−b).

При умножении или делении чисел с разными знаками могут ошибочно поставить плюс. Причина часто в том, что ученик смотрит только на величины чисел и забывает отдельно определить знак. Сначала сравни знаки множителей или делимого и делителя, затем вычисляй модули. Проверка: разные знаки дают отрицательный результат, одинаковые — положительный.

Некоторые пытаются делить на ноль или считают ноль допустимым делителем, потому что ноль встречается среди рациональных чисел. Однако деление на ноль не определено: никакое число при умножении на ноль не даст ненулевое делимое. Перед делением проверь делитель. Ноль может быть делимым, например 0 : 5 = 0, но делителем быть не может.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны навыки работы с обыкновенными и десятичными дробями, целыми числами и координатной прямой. Также пригодятся правила действий с положительными числами: с рациональными числами вычисляют похожим образом, но дополнительно учитывают знаки. Координатная прямая помогает увидеть, почему числа сравнивают и складывают именно так. Если эти основы знакомы, правила действий с отрицательными числами становятся понятнее.

Рациональные числа встречаются в уравнениях и задачах, где величина может увеличиваться или уменьшаться: например, при описании температуры, высоты или изменения счёта. Правила знаков понадобятся при упрощении алгебраических выражений и решении уравнений. Умение складывать, вычитать, умножать и делить такие числа становится основой для дальнейшего изучения алгебры. Точно определяя знаки, легче избежать ошибок в длинных вычислениях.

Что запомнить

• Любое рациональное число можно представить дробью с целым числителем и знаменателем, отличным от нуля.
• Противоположные числа имеют равные модули и разные знаки.
• При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули и сохраняют знак.
• При сложении чисел с разными знаками вычитают меньший модуль из большего и ставят знак числа с большим модулем.
• Вычесть число — значит прибавить противоположное ему число.
• При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками результат положительный, с разными — отрицательный.
• На ноль делить нельзя.