"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него: например, 5 и −5. Их сумма равна нулю, а модули одинаковы. Модуль показывает расстояние числа до нуля, поэтому не бывает отрицательным. Эти понятия помогают сравнивать числа, находить расстояния на числовой прямой, решать уравнения и правильно работать со знаками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Противоположные числа — числа, отличающиеся только знаками и имеющие одинаковые модули. Например, 6 и −6 расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны. Это понятие помогает видеть симметрию чисел на числовой прямой.
Противоположное число — число, сумма которого с данным числом равна нулю. Противоположное числу a обозначают −a: например, числу −8 противоположно число 8. Такое обозначение удобно при сложении, раскрытии скобок и решении уравнений.
Модуль числа — расстояние от точки, изображающей число, до начала отсчёта. Его записывают в вертикальных чертах: |a|, читают «модуль числа a». Модуль показывает, насколько число удалено от нуля, не учитывая направление.
Числовая прямая — способ наглядно показать расположение чисел, их знаки и расстояния между ними. Справа от нуля находятся положительные числа, слева — отрицательные. По прямой можно находить противоположные числа, сравнивать их и измерять расстояния.
Числа, равноудалённые от нуля в разные стороны, называют противоположными, потому что они отличаются только направлением. Например, отрезки от −4 до 0 и от 0 до 4 имеют одинаковую длину. Поэтому числа −4 и 4 имеют одинаковый модуль, но разные знаки.
Чтобы найти противоположное число на координатной прямой, нужно отступить от нуля на такое же расстояние в другую сторону. Если точка имеет координату 3, её «зеркальная» точка относительно нуля имеет координату −3. Для нуля переходить на другую сторону не нужно: 0 + 0 = 0, поэтому нуль противоположен самому себе.
Положительное число уже показывает расстояние от нуля без знака направления, поэтому его модуль равен самому числу: |7| = 7. У отрицательного числа знак минус указывает направление влево, а расстояние остаётся положительным. Поэтому |−7| = 7: при нахождении модуля знак минус убирают.
У противоположных чисел одинаковое расстояние до нуля. Значит, их модули равны: |5| = |−5| = 5. Это свойство позволяет быстро находить модуль противоположного числа, даже если само число записано со знаком минус.
Модуль не может быть отрицательным, потому что по смыслу это расстояние. Расстояние бывает положительным, если точка не совпадает с нулём, или равным нулю, если точка стоит в начале отсчёта. Поэтому для любого числа выполняется |a| ≥ 0.
В таблице собраны основные правила. Сначала определите, с каким понятием работаете, затем примените правило и проверьте результат по примеру.
| Понятие или свойство | Определение или правило | Обозначение | Пример |
|---|---|---|---|
| Противоположные числа | Имеют разные знаки и одинаковые модули | a и −a | 9 и −9 |
| Противоположное число | Сумма с данным числом равна нулю | −a | Для 6: −6 |
| Противоположное число нуля | Нуль противоположен самому себе | −0 = 0 | 0 + 0 = 0 |
| Модуль положительного числа | Равен самому числу | |a| = a, если a > 0 | |3,2| = 3,2 |
| Модуль отрицательного числа | Равен числу без знака минус | |a| = −a, если a < 0 | |−3,2| = 3,2 |
| Модуль нуля | Расстояние от нуля до самого себя равно нулю | |0| = 0 | |0| = 0 |
| Модули противоположных чисел | У противоположных чисел модули равны | |a| = |−a| | |−11| = |11| |
| Неотрицательность модуля | Модуль больше или равен нулю | |a| ≥ 0 | |−4| = 4 ≥ 0 |
Для чисел 7, −3, 0 и 4,5 нужно записать противоположные числа и отметить пары противоположных чисел. У каждого ненулевого числа меняем знак, а для нуля используем особое правило. Затем сравниваем полученные числа с исходными.
Пары противоположных чисел: 7 и −7, −3 и 3, 0 и 0, 4,5 и −4,5. Ответ: −7, 3, 0, −4,5; пары указаны выше.
Вычислим значения выражений |−12|, |3,8|, −|−5| и |−2| + |7|. Сначала найдём каждый модуль, а затем выполним действие, стоящее перед ним или между модулями. Отдельный знак минус перед модулем не входит внутрь вертикальных черт.
Ответ: 12; 3,8; −5; 9. Запись −|−5| нельзя превращать в положительное число: внешний минус сохраняется после нахождения модуля.
На числовой прямой отмечены точки A(−6) и B(4). Нужно определить, какая точка ближе к началу отсчёта, и найти расстояния от A и B до нуля. Координата каждой точки может быть отрицательной или положительной, но расстояние выражается неотрицательным числом.
Ответ: A находится на расстоянии 6 единиц, B — на расстоянии 4 единиц; ближе к нулю расположена точка B. Здесь сравниваются модули координат, а не сами координаты без учёта их смысла.
Иногда считают, что противоположное числу −8 — это «8−» или записывают −(−8), не выполняя преобразование. Правильный результат — 8, потому что меняется знак исходного числа. Проверка: −8 + 8 = 0.
Ошибка |−5| = −5 появляется, когда знак числа путают с расстоянием. Модуль отрицательного числа равен 5, а не −5. Проверьте ответ по условию |a| ≥ 0.
Некоторые полагают, что у нуля нет противоположного числа, ведь у него нет знака. Но 0 + 0 = 0, поэтому нуль противоположен самому себе. Это также видно на числовой прямой: точка нуля остаётся на месте.
Противоположные числа путают с взаимно обратными, потому что оба понятия связаны с изменением числа. Для противоположных чисел сумма равна нулю, а для взаимно обратных произведение равно единице. Перед решением уточните, какое действие должно дать нужный результат.
До изучения темы нужно уметь изображать целые и рациональные числа на числовой прямой, а также различать положительные и отрицательные числа. Эти навыки помогают понимать направление и расстояние от нуля.
Противоположные числа и модуль нужны при сравнении чисел, раскрытии скобок, решении уравнений и работе с расстояниями на координатной прямой. Они позволяют заменить наглядное рассуждение точными вычислениями.
Позже модуль станет основой для решения уравнений и неравенств с выражениями вида |x|. Умение понимать его геометрический смысл поможет выбирать правильные решения.
Почему ноль считают противоположным самому себе?
Противоположное число должно давать с исходным числом сумму 0. Для нуля это выполняется: 0 + 0 = 0, поэтому противоположное число нуля — сам нуль.
Может ли модуль числа быть отрицательным?
Нет, модуль обозначает расстояние от точки до нуля. Расстояние не может быть меньше нуля, поэтому |a| всегда неотрицателен.
Чем противоположные числа отличаются от взаимно обратных?
У противоположных чисел сумма равна нулю: a + (−a) = 0. У взаимно обратных чисел произведение равно единице: a · 1/a = 1, если a ≠ 0.
Как быстро найти противоположное число с десятичной или обыкновенной дробью?
Нужно сохранить само число и поменять только его знак: для 4,5 получится −4,5, а для −⅔ — ⅔. У нуля знак не меняется, потому что 0 и −0 — одно и то же число.
Как сравнивать отрицательные числа с помощью их модулей?
Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: −3 > −7, потому что 3 < 7. На числовой прямой это означает, что число ближе к нулю расположено правее.
2. Противоположные числа и модуль
