"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Рациональные числа — это целые числа и дроби, включая отрицательные. С ними можно выполнять обычные арифметические действия, но для верного ответа важно учитывать не только величину числа, но и его знак. Числовая прямая помогает увидеть, что означают противоположные числа и модуль. Главные правила темы: при сложении знаки учитывают отдельно, вычитание заменяют сложением, а при умножении и делении сначала определяют знак результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби и десятичные дроби, которые заканчиваются или имеют повторяющуюся часть. Например, −3 = −3/1, а 0,75 = 3/4. Это определение позволяет записывать разные на вид числа одним способом и применять к ним общие правила действий.
Противоположные числа — это числа, которые отличаются только знаком: например, 5 и −5. Их модули равны, потому что оба числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Сумма противоположных чисел равна нулю: 5 + (−5) = 0. Это полезно при проверке вычислений и упрощении выражений.
Модуль рационального числа — расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой; его обозначают вертикальными чертами, например |−4| = 4. Расстояние не может быть меньше нуля, поэтому модуль всегда неотрицателен: |a| ≥ 0. У положительного числа модуль равен самому числу, а у отрицательного — числу без знака минус. Модуль помогает сравнивать величины чисел и выполнять сложение с разными знаками.
Правило знаков при умножении и делении определяет знак ответа по знакам исходных чисел. Если знаки одинаковые, результат положительный; если разные — отрицательный. Например, (−2) · (−3) = 6, а (−8) : 2 = −4. Это правило отделяет работу со знаками от вычисления модулей.
На числовой прямой каждому числу соответствует точка: ноль служит началом отсчёта, положительные числа лежат справа, а отрицательные — слева. Чем дальше точка от нуля, тем больше модуль числа, независимо от того, с какой стороны она расположена. Поэтому точки чисел 4 и −4 одинаково удалены от нуля и соответствуют противоположным числам. Такая картина помогает понять и равенство их модулей, и то, почему при движении на одинаковое расстояние в противоположные стороны получается ноль.
Если складываем числа с одинаковыми знаками, их расстояния от нуля складываются, а направление движения по прямой остаётся прежним. Поэтому складывают модули и ставят общий знак слагаемых. Например, два шага влево и ещё три шага влево дают пять шагов влево: (−2) + (−3) = −5. Для положительных чисел рассуждение такое же, только движение идёт вправо.
При сложении чисел с разными знаками движения направлены в разные стороны и частично компенсируют друг друга. Чтобы найти результат, нужно из большего модуля вычесть меньший; направление оставшегося движения задаёт число с большим модулем. Например, 8 шагов вправо и 5 влево оставляют 3 шага вправо, значит, 8 + (−5) = 3. Если модули равны, движения полностью компенсируются и сумма равна нулю.
Вычитание рационального числа удобно заменить сложением противоположного, потому что правила сложения уже учитывают оба направления на прямой. Запись a − b равносильна записи a + (−b): знак вычитаемого меняется на противоположный. Например, 6 − (−2) = 6 + 2, ведь нужно отменить движение влево на два шага, то есть прибавить два шага вправо. После замены применяют обычное правило сложения чисел с одинаковыми или разными знаками.
При умножении и делении удобно сначала решить, каким будет знак результата, а затем выполнить действие с модулями. Одинаковые знаки дают плюс, потому что два одинаковых изменения знака взаимно компенсируются; разные знаки дают минус. Так, (−3) · 4 имеет знак минус, а модули дают 3 · 4 = 12, значит, ответ −12. Для деления применяется то же правило знаков, но делить на ноль нельзя.
| Действие | Знаки чисел | Что делать с модулями | Знак результата |
|---|---|---|---|
| Сложение | Одинаковые | Сложить модули | Общий знак слагаемых |
| Сложение | Разные | Вычесть меньший модуль из большего | Знак числа с большим модулем |
| Вычитание | Любые | Заменить вычитание сложением противоположного числа, затем действовать по правилу сложения | По правилу сложения |
| Умножение | Одинаковые | Перемножить модули | Плюс |
| Умножение | Разные | Перемножить модули | Минус |
| Деление | Одинаковые | Разделить модули | Плюс |
| Деление | Разные | Разделить модули | Минус |
Сначала определи, к какому действию относится пример, а для сложения и вычитания отдельно сравни знаки. В умножении и делении знак можно найти до вычисления модулей. При делении проверь, что делитель не равен нулю.
Оба слагаемых отрицательные, значит, у них одинаковые знаки. При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули, а затем сохраняют общий знак. Ответ будет отрицательным, поскольку оба слагаемых меньше нуля.
Ответ: −12. Его можно проверить на числовой прямой: сначала от нуля перемещаемся на 7 единиц влево, затем ещё на 5. В результате оказываемся на 12 единиц левее нуля.
Сначала заменим вычитание отрицательного числа сложением противоположного. Получим (−8) + 13 + 4, а сложение выполняем слева направо. Удобно сначала сложить два положительных числа, а затем прибавить отрицательное.
Ответ: 9. Проверка на прямой: движение на 8 единиц влево и затем на 17 вправо оставляет 9 единиц вправо от нуля. Обрати внимание: минус перед скобками изменил знак числа −4 на плюс.
Сначала выполняем умножение и деление слева направо, а вычитание — после них. При умножении и делении учитываем знаки, а дроби перемножаем или делим по обычным правилам. В конце вычтем дроби с одинаковыми знаменателями.
Ответ: 1/6. Сначала мы получили положительное число 1, потому что отрицательное число разделили на такое же отрицательное. Затем из целого вычли дробь, предварительно записав целое число в виде дроби со знаменателем 6.
При сложении чисел с разными знаками иногда складывают модули, как при одинаковых знаках. Так происходит, если не проверить знаки до вычисления. Сравни модули и вычти меньший из большего, а знак выбери по числу с большим модулем. Например, 9 + (−4) = 5, а не 13; проверить ответ помогает положение результата между 0 и 9.
При вычитании отрицательного числа можно ошибочно оставить минус и посчитать, например, 6 − (−2) как 6 − 2. Ошибка возникает из-за того, что знак перед скобками не меняют. Замени вычитание сложением противоположного: 6 − (−2) = 6 + 2. Проверка на прямой показывает, что отмена движения влево означает движение вправо.
Иногда при умножении или делении чисел с одинаковыми знаками ставят минус. Причина — знак каждого числа переносят в ответ отдельно, не применяя общее правило. Сначала сравни знаки: одинаковые дают плюс, разные — минус, и только потом вычисляй модули. Проверить вывод можно на примерах (−2) · (−3) = 6 и (−8) : (−4) = 2.
Модуль отрицательного числа иногда считают отрицательным, например записывают |−5| = −5. Так путают знак числа с расстоянием от него до нуля. Убери знак числа и проверь, что модуль не меньше нуля: |−5| = 5. На числовой прямой точка −5 отстоит от нуля на пять единиц, а расстояние отрицательным не бывает.
Чтобы работать с рациональными числами, пригодятся навыки действий с натуральными числами и обыкновенными дробями. Нужно уметь сравнивать дроби, находить общий знаменатель и отмечать числа на координатной прямой. Эти умения помогают вычислять модули и правильно складывать или вычитать числа с разными знаками.
Правила понадобятся при решении уравнений и вычислении выражений с положительными и отрицательными числами. Они также помогают описывать координаты и изменения величин: например, повышение и понижение температуры или движение вперёд и назад. Знаки показывают направление изменения, а модуль — его величину.
Почему при сложении отрицательных чисел результат становится ещё меньше?
Отрицательные числа расположены слева от нуля на числовой прямой. Складывая два таких числа, мы движемся ещё дальше влево, поэтому результат становится меньше каждого слагаемого.
Как определить знак суммы чисел с разными знаками?
Найди модули чисел и сравни их. У суммы будет знак того числа, модуль которого больше, а модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей.
Почему вычитание отрицательного числа превращается в сложение?
Вычесть число — значит прибавить противоположное ему число. Противоположное отрицательному числу положительно, поэтому, например, вычитание −4 заменяется прибавлением 4.
Может ли модуль числа быть отрицательным?
Нет. Модуль — это расстояние от числа до нуля, а расстояние не бывает отрицательным. Поэтому модуль любого числа равен нулю или положителен.
Как быстро определить знак произведения или частного?
Сравни знаки чисел: одинаковые дают положительный результат, разные — отрицательный. Затем отдельно умножь или раздели модули; делить на ноль нельзя.
§ 2. Арифметика рациональных чисел
