§5. Положительные и отрицательные числа

Определения и обозначения

Положительное число — это число, которое больше нуля. Его можно записать без знака, например 6, или со знаком «+»: +6; обычно знак «+» не пишут. Такое число удобно использовать, когда величина находится выше выбранного нуля или когда нужно показать увеличение.

Отрицательное число — это число, которое меньше нуля. Перед ним обязательно ставят знак «−», например −6. Он показывает, что число расположено по другую сторону от нуля, и помогает записывать, например, температуру ниже нуля или долг.

Число ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Оно служит границей между числами со знаком «+» и числами со знаком «−». Ноль может обозначать отсутствие величины или выбранную точку отсчёта.

Противоположные числа равны по модулю, то есть находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но имеют разные знаки: 4 и −4. Такая пара показывает равные по величине значения в противоположных направлениях. Ноль противоположен самому себе, поскольку расстояние от него до нуля равно нулю.

Как это устроено

Натуральными числами удобно считать предметы: 1, 2, 3 и так далее. Но ими нельзя описать температуру −5 °C или долг в 5 рублей: оба значения находятся ниже выбранного нуля. Если записать только число 5, будет непонятно, идёт ли речь о значении выше нуля или ниже него. Знак «−» устраняет эту неоднозначность, а вместе положительные и отрицательные числа позволяют описывать такие величины.

Для наглядности числа отмечают на координатной прямой: ноль выбирают за начало отсчёта, а единичные отрезки откладывают в обе стороны. Положительное направление обычно показывают вправо, поэтому положительные числа оказываются справа от нуля. Отрицательное направление идёт влево, и отрицательные числа располагаются слева. Такое расположение сразу показывает, с какой стороны от нуля находится каждое число.

Числа по разные стороны от нуля называют противоположными, если они удалены от него на одинаковое расстояние. Например, 3 и −3 отстоят от нуля на три единичных отрезка, хотя лежат в разных направлениях. Поэтому у них одинаковая величина расстояния, но разные знаки. Это свойство помогает находить противоположное число: знак меняется, а расстояние до нуля сохраняется.

Координатная прямая помогает не только видеть знак, но и сравнивать числа. Если двигаться по ней слева направо, числа увеличиваются, поэтому из двух чисел больше то, которое расположено правее. Например, −2 правее −7, значит, −2 > −7. Сравнение по прямой особенно полезно для отрицательных чисел: привычное сравнение цифр здесь может сбить с толку.

Знак, стоящий перед числом, может быть частью его записи, а не знаком действия. В записи −6 он говорит, что число отрицательное; в выражении 8 − 6 знак «−» обозначает вычитание. Положительное число можно записать как +6, но знак «+» часто опускают. Чтобы не перепутать смысл, нужно смотреть, стоит ли знак непосредственно перед числом или он соединяет числа в выражении.

Положительные и отрицательные числа и ноль

Сначала определите, к какой строке относится число: посмотрите на его знак и сравните с нулём. Затем по столбцу о координатной прямой можно представить, где оно находится. Таблица также напоминает, что ноль не входит ни в одну из двух групп.

Разбор задач

Распределите числа 8, −3, 0, −12, 5 на положительные, отрицательные и не относящиеся ни к тем ни к другим.

Проверим знак каждого числа: отсутствие знака у числа 8 и числа 5 означает, что они положительные. Перед −3 и −12 стоит знак «−», значит, эти числа отрицательные. Число 0 нужно рассмотреть отдельно, потому что оно не положительное и не отрицательное.

1. Записываем положительные числа: 8 и 5.
2. Записываем отрицательные числа: −3 и −12.
3. Выделяем число, которое не относится ни к положительным, ни к отрицательным: это 0.

Мы распределили все пять чисел и ни одно не потеряли. При проверке убедимся, что каждое число встречается ровно в одной группе. Ответ: положительные — 8, 5; отрицательные — −3, −12; ни положительные, ни отрицательные — 0.

Запишите числа, противоположные числам 7, −4 и 0.

Противоположное число находится на таком же расстоянии от нуля, но по другую сторону. Значит, для ненулевого числа достаточно поменять знак, не меняя цифру. Для нуля это правило не создаёт нового числа, потому что ноль находится в начале отсчёта.

1. Для 7 меняем знак: противоположное число — −7.
2. Для −4 убираем знак «−»: противоположное число — 4.
3. Для 0 знак менять не нужно: противоположное число — 0.

Можно проверить результат на координатной прямой: числа 7 и −7 должны находиться по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии. То же верно для −4 и 4. Ответ: −7, 4 и 0.

На координатной прямой отметьте числа −5, 2 и −1, затем расположите их в порядке возрастания.

Порядок возрастания означает расположение от меньшего числа к большему. На координатной прямой для этого нужно пройти слева направо. Сначала отметим отрицательные числа слева от нуля, а положительное число — справа.

1. Отметим −5: оно находится на пять единичных отрезков левее нуля.
2. Отметим −1: оно расположено на один отрезок левее нуля, то есть правее −5.
3. Отметим 2: оно находится справа от нуля и правее обоих отрицательных чисел.

Сравнение по положению показывает, что −5 левее −1, а −1 левее 2. Значит, при движении слева направо числа расположены от меньшего к большему. Ответ: −5, −1, 2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать ноль положительным или отрицательным. Её допускают, потому что ноль часто записывают рядом с числами, у которых есть знаки. Но ноль равен нулю, а не больше или меньше самого себя. Проверьте: положительное число должно быть больше нуля, отрицательное — меньше; ни одно условие для нуля не подходит.

Ошибка: принимать знак числа за знак действия. Например, в записи −6 знак «−» показывает, что число отрицательное, а в записи 9 − 6 он обозначает вычитание. Путаница возникает из-за того, что используют один и тот же знак. Проверьте, стоит ли он непосредственно перед числом или находится между числами.

Ошибка: думать, что отрицательное число с большей цифрой всегда больше. Например, можно ошибочно решить, что −8 > −3, сравнив только цифры 8 и 3. На прямой −8 расположено левее −3, поэтому −8 < −3. Проверка простая: из двух отрицательных чисел больше то, которое правее и ближе к нулю.

Ошибка: находить противоположное число, не меняя знак или расстояние до нуля. Так, противоположное к 4 — не 4, а −4; противоположное к −4 — 4. Ошибка возникает, если поменять величину числа или забыть знак. Проверьте пару на координатной прямой: числа должны лежать по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии.

Связь с другими темами

Для работы с положительными и отрицательными числами нужно уметь сравнивать числа и понимать координатную прямую. Натуральные числа уже располагаются на ней справа от нуля, а новые числа продолжают прямую влево. Поэтому прежнее умение сравнивать помогает освоить расширенную числовую прямую.

Эти числа нужны, чтобы сравнивать величины ниже нуля, например температуры, и описывать изменения в разных направлениях. Знаки и координатная прямая также пригодятся при изучении координат и действий с рациональными числами. Рациональные числа включают, в частности, положительные и отрицательные целые числа, а также дроби.

Что запомнить

• Положительные числа больше нуля.
• Отрицательные числа меньше нуля.
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Положительные числа лежат справа от нуля, отрицательные — слева.
• На координатной прямой из двух чисел больше то, которое расположено правее.
• Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны от него.