26. Координаты на прямой

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, положительным направлением и единичным отрезком. Эти три элемента задают порядок чисел и расстояние между соседними целыми числами. Без них точкам нельзя однозначно приписать координаты.

Начало отсчёта — точка, которой соответствует число 0. От неё начинают откладывать расстояния в обе стороны. На рисунке её часто обозначают буквой O.

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения на координатной прямой. Он показывает, какое расстояние соответствует одному числу. По нему находят и целые координаты, и доли единицы.

Координата точки — число, соответствующее этой точке на координатной прямой. Координату записывают рядом с точкой или обозначают буквой, например A(−2). Она показывает и расстояние от нуля, и сторону, на которой находится точка.

Как это устроено

Обычная прямая сама по себе не сообщает, какие числа соответствуют её точкам. Сначала выбирают точку начала отсчёта, затем направление, которое называют положительным, и единичный отрезок. После этого прямая превращается в координатную: положение каждой точки можно описать числом. Выбор масштаба нужен, чтобы одинаковым расстояниям соответствовали одинаковые изменения координаты.

Началу отсчёта соответствует 0, потому что от него начинают измерение и пока не прошли ни одного единичного отрезка. Если от нуля пройти один единичный отрезок в положительном направлении, получают число 1. Ещё один такой шаг даёт 2, следующий — 3. Поэтому вправо от нуля числа увеличиваются на единицу при каждом переходе через единичный отрезок.

Знак координаты определяется не словом вправо, а выбранным положительным направлением. При обычном выборе направления вправо точки справа от нуля имеют знак плюс, а точки слева — знак минус. Если положительное направление выбрано влево, знаки распределятся наоборот. Значит, сначала нужно посмотреть на стрелку направления, а уже затем определять знак.

Чтобы найти точку между целыми числами, единичный отрезок делят на равные части. Если его разделили на четыре части, одно деление равно ¼, поэтому первое, второе и третье деления вправо имеют координаты ¼, ½ и ¾. Координату получают умножением числа делений на величину одного деления. Обратно, зная координату, находят нужное число долей и откладывают их от нуля в правильную сторону.

Элементы координатной прямой и их назначение

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком при построении прямой. Если не хватает хотя бы одного из первых трёх элементов, координаты нельзя определить однозначно. Последняя строка описывает результат: число, которое получают для выбранной точки.

Разбор задач

Задача 1

На координатной прямой отмечены 0 и 1. Отметьте точки с координатами 2 и 4. Здесь единичный отрезок уже известен: это расстояние от 0 до 1.

1. От точки 0 двигаемся вправо, потому что числа 2 и 4 положительные.
2. Для точки с координатой 2 откладываем два единичных отрезка: сначала до 1, затем до 2.
3. Для точки с координатой 4 откладываем от нуля четыре таких отрезка.

Ответ: точки 2 и 4 находятся соответственно на втором и четвёртом единичных отрезках справа от нуля.

Задача 2

Единичный отрезок разделён на четыре равные части. Найдите координату точки, расположенной на третьем делении вправо от 0.

1. Единица разделена на четыре одинаковые доли, значит, одно деление равно 1/4.
2. Точка находится на трёх таких делениях, поэтому её расстояние от нуля равно 3 · 1/4.
3. Так как точка расположена вправо от 0, координата положительная.

Ответ: 3/4.

Задача 3

Точка A расположена на два единичных отрезка левее 0, а точка B — на три единичных отрезка правее 0. Запишите координаты точек и укажите, какая из них расположена левее.

1. Для A считаем два отрезка от нуля в сторону, противоположную положительному направлению, поэтому координата A равна −2.
2. Для B считаем три отрезка в положительном направлении, поэтому координата B равна 3.
3. На прямой левее расположено число, которое меньше. Так как −2 меньше 3, левее находится A.

Ответ: A(−2), B(3); точка A расположена левее.

Типичные ошибки

Ошибка: считать координатной любую прямую. Так делают, потому что видят на ней точки, но без нуля, направления и масштаба числа не определены. Проверьте, присутствуют ли все три элемента.

Ошибка: ставить минус точке справа от нуля. Такой ответ возможен только при направлении, выбранном влево, поэтому сначала найдите стрелку положительного направления. Затем проверьте, в какую сторону от нуля расположена точка.

Ошибка: принимать длину единичного отрезка за число 1 независимо от рисунка. Числу 1 соответствует именно выбранный отрезок, а не любой сантиметр на странице. Сравните расстояние от 0 до отметки 1 и используйте его как масштаб.

Ошибка: считать число делений вместо доли единицы. Если отрезок разделён на четыре части, третье деление — это 3/4, а не 3. Проверьте, на сколько частей разделена единица, и запишите долю.

Связь с другими темами

Для работы с координатной прямой нужно уметь сравнивать натуральные числа, дроби и отрицательные числа. Положение левее означает меньшее число, а правее — большее, если направление выбрано обычно.

Координатная прямая помогает изучать модуль числа: он показывает расстояние от числа до нуля и не зависит от стороны. Например, числа −3 и 3 имеют одинаковое расстояние до начала отсчёта.

Точки на прямой — основа координатной плоскости. На плоскости используют уже две координаты: одну для движения по горизонтали, другую для движения по вертикали.

Что запомнить

• Координатная прямая имеет начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок.
• Началу отсчёта соответствует координата 0.
• Единичному отрезку вправо от начала отсчёта соответствует координата 1.
• Точки справа от начала отсчёта имеют положительные координаты, слева — отрицательные.
• Каждой точке координатной прямой соответствует единственное число.
• Каждому числу соответствует единственная точка координатной прямой.