27. Противоположные числа

Определения и обозначения

Противоположные числа — это числа, отличающиеся только знаками. Например, 5 и −5 противоположны: у них одинаковая числовая часть, но одно число положительное, а другое отрицательное. Так можно назвать пары 12 и −12, 0,4 и −0,4. Понятие помогает увидеть, что числа одинаковой величины могут находиться по разные стороны от нуля.

Число, противоположное числу a, записывают −a. Эта запись обозначает не обязательно отрицательное число, а именно число, противоположное a: если a = 6, то −a = −6, а если a = −6, то −a = 6. Буква a может обозначать любое число, поэтому такая запись подходит и для положительных, и для отрицательных чисел. Она позволяет коротко записывать противоположное число, даже если само число задано буквой.

Нуль противоположен самому себе: число, противоположное 0, — это 0. У нуля нет знака, который можно было бы заменить на противоположный, и он не смещён ни в одну сторону от начала отсчёта. Поэтому запись −0 не обозначает новое число: −0 = 0. Это нужно помнить, когда правило смены знака применяют к любому числу.

Как это устроено

На координатной прямой нуль служит точкой отсчёта, а числа справа от него положительные, слева — отрицательные. Чтобы отметить число и противоположное ему, например 3 и −3, от нуля откладывают по 3 единицы в разные стороны. Расстояние от точки до нуля одинаково, потому что числовая часть у пары одна и та же. Поэтому противоположные числа лежат по разные стороны от нуля и равноудалены от него.

Модуль числа — это расстояние от него до нуля на координатной прямой. У a и −a модули одинаковы, так как обе точки отстоят от начала отсчёта на одну и ту же величину. Если a не равно нулю, числа имеют разные знаки: одно расположено справа от нуля, другое — слева. Например, |4| = |−4| = 4, хотя 4 положительно, а −4 отрицательно.

Чтобы найти противоположное положительному числу, ставят перед ним знак минус: противоположное 9 — число −9. Если исходное число отрицательное, его знак меняют на плюс: противоположное −2,5 — число 2,5. Числовая часть, то есть расстояние до нуля, при этом не меняется. Такой способ удобен для целых чисел, дробей и десятичных чисел.

Противоположное числу −a — это a: знак перед a меняется на противоположный, и исходная величина возвращается. Например, если сначала взять −7, а затем найти противоположное ему число, получится 7. Значит, если дважды изменить знак числа, оно не изменится; это верно и для нуля. Так объясняется, почему противоположное противоположному числу всегда совпадает с исходным.

Координатами точки на прямой называют числа, которые показывают её положение относительно нуля. Точки с координатами a и −a симметричны относительно начала координат: нуль находится ровно посередине между ними. Это следует из одинаковых расстояний до нуля и расположения по разные стороны от него. Например, точкам с координатами 2 и −2 соответствуют равные отрезки от начала координат в противоположных направлениях.

Число и противоположное ему число

Сначала определите знак числа a, а затем посмотрите, какой знак будет у −a: он противоположный. Модуль и расстояние до нуля остаются теми же. Последняя строка напоминает полезную проверку: сумма числа и противоположного ему числа должна быть равна нулю.

Разбор задач

Задача 1. Найдите число, противоположное числу 8. Число 8 положительное, поэтому его противоположное должно быть отрицательным. Числовая часть не меняется: точка должна остаться на расстоянии 8 единиц от нуля, но перейти на другую сторону. Так получаем число −8.

1. Определяем знак исходного числа: 8 больше нуля, значит, оно положительное.
2. Меняем знак на противоположный, сохраняя числовую часть: получаем −8.
3. Проверяем: 8 + (−8) = 0, значит, числа действительно противоположные.

Ответ: −8. Проверка суммой удобна, когда нужно убедиться, что знак изменён правильно. Если сложение даёт нуль, найдено противоположное число. Важно не менять величину числа: противоположное 8 — не −4 и не −16.

Задача 2. Найдите число, противоположное числу −3,7, и отметьте оба числа на координатной прямой. Исходное число отрицательное, поэтому искомое будет положительным. Расстояние от каждого числа до нуля равно 3,7. Значит, числа расположатся по разные стороны от нуля, на одинаковом расстоянии.

1. У числа −3,7 меняем знак, не меняя его числовую часть: получаем 3,7.
2. На координатной прямой отмечаем 0, затем −3,7 слева от нуля и 3,7 справа.
3. Проверяем расположение: от нуля до каждой точки 3,7 единицы, а сумма чисел −3,7 + 3,7 равна 0.

Ответ: 3,7; точки −3,7 и 3,7 лежат на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны. На прямой сначала удобно отметить нуль, а потом отложить одинаковые расстояния влево и вправо. Знак помогает понять, с какой стороны находится точка: отрицательные числа — слева, положительные — справа.

Задача 3. Число x противоположно числу −12. Найдите x и сумму x с числом, противоположным x. По условию x — это число, противоположное −12, поэтому нужно изменить знак исходного числа. Затем потребуется найти противоположное уже для x и сложить эти два числа. Здесь полезно применять понятие последовательно, не путать, к какому числу относится каждый шаг.

1. Меняем знак числа −12: получаем x = 12.
2. Находим число, противоположное x: противоположное числу 12 равно −12.
3. Складываем: x + (−x) = 12 + (−12) = 0.

Ответ: x = 12; сумма равна 0. Сначала важно правильно прочитать условие: противоположным является x по отношению к −12, поэтому x положительно. Для суммы можно либо подставить найденное значение, либо использовать свойство противоположных чисел. Оба способа приводят к нулю.

Типичные ошибки

Иногда считают, что число, противоположное −a, — это снова −a. Ошибка возникает, если воспринимать запись −a как название отрицательного числа, хотя знак зависит от значения a. Нужно ещё раз изменить знак: противоположное −a равно a. Проверка простая: числа a и −a должны находиться по разные стороны от нуля, если a не равно нулю.

Для числа −5 иногда записывают противоположное −5. Так происходит, когда замечают исходный минус, но забывают его заменить. У числа −5 противоположным будет 5, потому что числовая часть 5 сохраняется, а знак меняется. Проверить результат можно сложением: −5 + 5 = 0.

Ещё одна ошибка — искать для нуля отдельное число, противоположное ему. Но нуль не положительный и не отрицательный, а его расстояние от начала координат равно нулю. Поэтому противоположное число для 0 — сам 0; это можно проверить равенством 0 + 0 = 0. Запись −0 также равна 0.

Противоположные числа путают с взаимно обратными, потому что в обоих случаях рассматривают пары чисел. Однако у противоположных чисел сумма равна нулю, а у взаимно обратных произведение равно единице: например, 3 и −3 — противоположные, а 3 и ⅓ — взаимно обратные. Перед ответом проверьте, какое именно свойство требуется. Если речь о противоположных, проверяйте сумму, а не произведение.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно работать с противоположными числами, нужно уметь сравнивать положительные и отрицательные числа и находить модуль. Сравнение помогает определить знак числа, а модуль показывает, насколько далеко число находится от нуля. Вместе эти знания помогают правильно расположить противоположные числа на координатной прямой. Они также позволяют проверить, одинаково ли далеко пара чисел от начала отсчёта.

Противоположные числа пригодятся при сложении чисел с разными знаками: пара противоположных чисел даёт в сумме нуль. Это свойство используют, чтобы упрощать вычисления. Оно помогает и при решении уравнений, когда нужно найти неизвестное число или перенести слагаемые. Например, знание о противоположных числах позволяет распознать, какие слагаемые взаимно уничтожаются.

Что запомнить

• Противоположные числа отличаются только знаками.
• Число, противоположное a, записывают −a.
• Числа a и −a имеют одинаковые модули.
• На координатной прямой противоположные числа равноудалены от нуля.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.
• Нуль противоположен самому себе.