§ 19. Противоположные числа

Определения и обозначения

Противоположные числа — числа, отличающиеся только знаками и имеющие одинаковые натуральные значения. Например, 4 и −4 имеют одну и ту же величину, но разные знаки. Это понятие помогает объединять числа в пары и быстро выполнять действия с ними.

Противоположное число — число, которое при сложении с данным даёт ноль; для числа a его обозначают −a. Например, для 9 противоположным будет −9, потому что 9 + (−9) = 0. Такое определение позволяет проверять результат не только по знаку, но и сложением.

Ноль — число, противоположное самому себе. Действительно, 0 + 0 = 0, поэтому для нуля не нужно искать другое число. Это особый случай общего правила смены знака.

Координатная прямая — способ показать числа точками, расположенными на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны. Так можно увидеть, что числа −3 и 3 занимают симметричные положения. Расстояние от точки до нуля связано с модулем числа.

Как это устроено

Чтобы по записи числа найти противоположное, нужно сохранить его числовое значение и изменить знак. У положительного числа мысленно появляется минус: 8 превращается в −8. У отрицательного минус убирается: −8 превращается в 8, потому что меняется направление относительно нуля, а величина остаётся прежней.

На координатной прямой ноль является серединой между противоположными числами. Если точка числа 5 находится справа от нуля на пяти единичных отрезках, то точка −5 находится слева на таком же расстоянии. Поэтому противоположные числа расположены симметрично относительно нуля.

Сумма противоположных чисел равна нулю, потому что их одинаковые величины взаимно уничтожаются, а знаки разные. Например, в сумме 6 + (−6) шесть единиц справа и шесть единиц слева от нуля дают исходную точку 0. Это свойство является главным способом проверки найденной пары.

Для положительного числа противоположное получают добавлением знака минус: 11 и −11. Для отрицательного числа знак минус убирают: противоположное числу −11 — 11. Для нуля смена знака ничего не меняет, поэтому −0 = 0.

Запись −a означает не обязательно отрицательное число, а число, противоположное a. Если a = 7, то −a = −7, но если a = −7, то −a = 7. Поэтому два минуса подряд меняют знак дважды: −(−a) = a.

Противоположные числа

Сначала определите, какой знак имеет данное число, а затем найдите в соответствующей строке его противоположное. После этого проверьте результат: сложение двух чисел из пары должно дать ноль.

В строке с общим правилом буква a обозначает любое число, в том числе положительное, отрицательное или ноль. Поэтому это правило подходит для всех случаев.

Разбор задач

Задача 1

Запишите пары противоположных чисел из набора: 7, −3, 0, 3, −7, 5. Нужно сравнить величины чисел без знаков и проверить, отличаются ли их знаки. Число 5 пары в данном наборе не имеет.

1. Для 7 найдём число с такой же величиной и другим знаком: это −7.
2. Для −3 подходит 3, потому что числа имеют равные модули и разные знаки.
3. Ноль противоположен самому себе, поэтому его можно записать как отдельную пару 0 и 0.

Ответ: пары 7 и −7; −3 и 3; 0 и 0. Число 5 не входит в пару, так как −5 в наборе нет.

Задача 2

Найдите число x, противоположное числу −4, и проверьте ответ сложением. Так как данное число отрицательное, у его противоположного должен быть такой же модуль, но положительный знак. Затем проверим, выполняется ли определение противоположных чисел.

1. Меняем знак числа −4 и получаем x = 4.
2. Подставляем найденное значение в сумму: −4 + 4 = 0.
3. Результат равен нулю, значит, знак и значение выбраны правильно.

Ответ: x = 4. Числа −4 и 4 являются противоположными.

Задача 3

Вычислите выражение −(−8) + (−5) и объясните, какое число является противоположным для −8. Внешний минус перед скобками требует найти число, противоположное числу внутри скобок. Поэтому сначала нужно разобраться с первой частью выражения.

1. Противоположным для −8 является 8, значит, −(−8) = 8.
2. Заменяем первую часть выражения: 8 + (−5).
3. От большего по модулю числа 8 вычитаем 5 и сохраняем знак числа 8: 8 + (−5) = 3.

Ответ: 3; противоположное числу −8 — число 8. Два минуса в записи −(−8) дают положительный результат.

Типичные ошибки

Иногда противоположным числу 6 считают 0, потому что ноль расположен между положительными и отрицательными числами. Но противоположное число должно иметь ту же величину и другой знак, а не просто находиться рядом на прямой. Проверка: 6 + 0 = 6, а не 0.

Для числа −9 могут по ошибке записать противоположное число −9, забыв изменить знак. Такая запись обозначает то же самое число, а не его пару. Нужно проверить себя сложением: −9 + (−9) не равно нулю, тогда как −9 + 9 = 0.

Ноль иногда пытаются связать с отдельным положительным или отрицательным противоположным числом. У нуля нет другого числа в такой паре: −0 = 0. Проверка проста: только 0 + 0 даёт ноль и сохраняет общее правило.

Противоположное число −a путают с модулем и всегда заменяют число положительным. Эти понятия совпадают по значению для отрицательного числа, но обозначают разные действия и свойства. Сначала определите, требуется ли сменить знак или найти расстояние до нуля.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны знания о положительных и отрицательных числах, знаках «плюс» и «минус», а также о координатной прямой. Без этого трудно понять, почему числа одной величины могут иметь разные направления.

Координатная прямая показывает расположение чисел и расстояние от точки до нуля. Она помогает увидеть симметрию противоположных чисел, а не только запомнить правило смены знака.

Противоположные числа используются при сложении и вычитании чисел с разными знаками, раскрытии скобок и решении уравнений. Например, знание равенства a + (−a) = 0 помогает сокращать выражения и находить неизвестные.

Что запомнить

• Противоположные числа отличаются только знаками.
• Противоположные числа имеют равные модули.
• Противоположные числа расположены на координатной прямой симметрично относительно нуля.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.
• Противоположное числу a обозначают −a.
• Противоположное числу −a — число a.
• Ноль противоположен самому себе.