§ 18. Координатная прямая. Отрицательные числа

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Начало отсчёта обычно обозначают числом 0, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Эти договорённости нужны, чтобы каждой точке прямой можно было поставить в соответствие число.

Координата точки — число, которое показывает положение точки на координатной прямой относительно начала отсчёта. В записи A(3) число 3 — координата точки A. Она сообщает не только расстояние до нуля, но и сторону, на которой находится точка.

Положительные числа — числа, расположенные на координатной прямой правее нуля. К ним относятся 1, 2, 3 и другие числа, большие нуля. Их используют, когда движение от начала отсчёта происходит в положительном направлении.

Отрицательные числа — числа, расположенные на координатной прямой левее нуля. Перед ними ставят знак минус: −1, −2, −3. Такой знак показывает, что точка находится от нуля в направлении, противоположном положительному.

Как это устроено

Сначала на прямой выбирают точку O и называют её началом отсчёта. Затем отмечают точку, удалённую от O на один выбранный отрезок, и принимают это расстояние за единицу. Наконец, задают положительное направление, обычно вправо, поэтому вся шкала получает единый порядок чисел.

Если от нуля двигаться вправо, каждое следующее единичное расстояние увеличивает число на единицу. Поэтому первой точке справа соответствует 1, следующей — 2 и так далее. Движение влево считается обратным, поэтому числам там присваивают знак минус: −1, −2, −3.

Чтобы найти координату уже отмеченной точки, сначала считают единичные отрезки от нуля до точки, не включая сам ноль как отрезок. Затем смотрят на направление: вправо записывают положительное число, а влево — отрицательное. Например, точка в четырёх отрезках слева от нуля имеет координату −4, а не 4.

Чтобы отметить точку по координате, определяют её знак и выбирают сторону движения. Для числа 5 откладывают пять единичных отрезков вправо, а для −5 — пять таких отрезков влево. Сравнивать числа можно без вычислений: точка, расположенная правее, соответствует большему числу, а точка левее — меньшему.

Положение чисел на координатной прямой

Сначала определите строку по знаку числа, а затем проверьте её положение относительно нуля. Такая таблица помогает не забыть знак минус у чисел, расположенных слева.

Для сравнения нескольких чисел мысленно расположите их на одной прямой. Чем правее находится точка, тем больше соответствующее число.

Разбор задач

Задача 1

На координатной прямой отметьте точки A(3) и B(−2). Нужно понять, в какую сторону направляться от нуля и сколько единичных отрезков отложить. Знак координаты определяет направление, а число без знака — расстояние.

1. У точки A координата 3 положительная, поэтому от нуля двигаемся вправо.
2. Откладываем три единичных отрезка и ставим в конце точку A.
3. У точки B координата −2 отрицательная, поэтому откладываем два отрезка влево и ставим точку B.

Ответ: A находится на третьем отрезке справа от нуля, B — на втором отрезке слева.

Задача 2

Точка C расположена на 5 единичных отрезков левее начала отсчёта. Требуется записать её координату. Слово «левее» показывает направление, а число 5 показывает расстояние до нуля.

1. Определяем сторону: точка находится слева, значит, координата будет отрицательной.
2. Берём пять единичных отрезков от нуля до точки.
3. Ставим перед числом 5 знак минус.

Ответ: C(−5). Нельзя записывать просто 5, потому что это означало бы положение справа от нуля.

Задача 3

Расположите числа −4, 2, −1 и 0 в порядке возрастания. Порядок возрастания означает движение по прямой слева направо. Поэтому достаточно определить, какая точка находится левее остальных.

1. −4 расположено левее −1, потому что удалено от нуля дальше влево.
2. После −4 идёт −1, затем 0, находящийся между отрицательными и положительными числами.
3. Число 2 расположено правее нуля, поэтому оно последнее.

Ответ: −4 < −1 < 0 < 2.

Типичные ошибки

Забывают поставить знак минус у точки слева от нуля и записывают только расстояние до начала отсчёта. Так происходит, потому что расстояние всегда считают положительным. Проверьте себя: если точка слева, её координата обязательно должна начинаться со знака −.

Путают положительное направление с направлением движения по странице. Направление задают один раз при построении прямой, а не выбирают заново для каждой точки. Проверьте стрелку на прямой: именно она показывает, где находятся положительные числа.

Считают деления от начала отсчёта, включая сам ноль как первое деление. Ноль является точкой, а не единичным отрезком. Для проверки отсчитывайте промежутки между соседними отметками: до числа 3 должно быть ровно три отрезка.

Считают, что −5 больше −2, потому что 5 больше 2. На прямой точка −5 расположена левее точки −2, поэтому −5 меньше. Сравнивайте не только цифры после знака минус, а положение точек относительно друг друга.

Связь с другими темами

До изучения координатной прямой нужно уметь пользоваться числовым лучом, откладывать единичные отрезки и сравнивать натуральные числа. Эти навыки помогают понять, как устроена шкала и почему соседние числа отличаются на единицу.

Координатная прямая понадобится при изучении рациональных чисел и действий с отрицательными числами. Позже похожий способ задавать положение точек используется на координатной плоскости.

Что запомнить

• На координатной прямой начало отсчёта имеет координату 0.
• Положительное направление обычно выбирают вправо.
• Точки справа от нуля имеют положительные координаты, слева — отрицательные.
• Координата показывает расстояние от нуля в единичных отрезках и направление относительно нуля.
• Из двух чисел больше то, которому соответствует точка правее.
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.