"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Противоположные числа — это числа, которые отличаются только знаками: например, 5 и −5. Они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны координатной прямой, поэтому их модули равны. Числу a противоположно число −a, а нулю — сам нуль. Это понятие помогает складывать числа с разными знаками, выполнять вычитание и работать с модулем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Противоположные числа — это числа, которые отличаются только знаками. Например, 5 и −5 имеют одинаковые цифры, но разные знаки. Такое определение помогает быстро увидеть пару чисел, расположенных симметрично относительно нуля.
Для числа a противоположным является число −a. Запись −a читают «минус а» или «число, противоположное а»: знак перед буквой означает смену знака числа a. Это обозначение удобно, потому что одним правилом описывает противоположное число для любого числа.
Число 0 противоположно самому себе: −0 = 0. При смене знака нуля значение не меняется, потому что у нуля нет ни положительной, ни отрицательной стороны. Поэтому нуль образует особую пару, в которой оба числа совпадают.
На координатной прямой нуль является началом отсчёта, положительные числа расположены справа, а отрицательные — слева. Если отметить числа 3 и −3, обе точки будут удалены от нуля на три единицы. Значит, противоположные числа находятся по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии.
Одинаковое расстояние до нуля означает равенство модулей. Модуль числа показывает расстояние от его точки до нуля, поэтому |5| = |−5| = 5. У ненулевых противоположных чисел знаки разные: одно число положительное, другое отрицательное.
В записи −a буква a может обозначать любое число, а не только положительное. Если a = −4, то −a = −(−4) = 4, поэтому результат положительный. Знак перед буквой задаёт число, противоположное a, и сам по себе не говорит, каким будет итоговый знак.
Числу −a противоположно число a. Действительно, первая смена знака превращает a в −a, а вторая возвращает исходное значение: −(−a) = a. Это похоже на два последовательных шага в противоположных направлениях, которые приводят обратно в исходную точку.
Для дробей и десятичных чисел меняют только знак, сохраняя все цифры и дробную часть. Например, числу ⅗ противоположно −⅗, а числу −1,7 противоположно 1,7. Такое же правило действует для любого ненулевого числа, а противоположным нулю остаётся 0.
В таблице буква a обозначает исходное число, а −a — число, противоположное ему. Сначала определите знак числа a, затем поставьте противоположный знак перед тем же числом. Последняя колонка напоминает, что расстояние до нуля у пары не меняется.
| Число a | Противоположное число −a | Расположение на координатной прямой | Модуль |
|---|---|---|---|
| a > 0 | −a < 0 | Точки по разные стороны от 0, на равном расстоянии | |a| = |−a| |
| a < 0 | −a > 0 | Точки по разные стороны от 0, на равном расстоянии | |a| = |−a| |
| a = 0 | −a = 0 | Обе точки совпадают с началом отсчёта | |a| = |−a| = 0 |
Условие: найдите число, противоположное числу 8. Число 8 положительное, поэтому у его противоположного числа должен быть такой же модуль, но отрицательный знак.
Решение:
Ответ: −8. Проверка суммой показывает, что числа действительно противоположны.
Условие: найдите числа, противоположные числам −3,5 и 0. Для первого числа нужно сменить знак, а для нуля учесть особое правило.
Решение:
Ответ: числу −3,5 противоположно 3,5, а числу 0 противоположно 0. В обоих случаях сохраняется равенство модулей.
Условие: известно, что −a = 7, найдите a и число, противоположное a. Здесь нужно восстановить исходное число после смены знака.
Решение:
Ответ: a = −7, а число, противоположное a, равно 7. Проверка: −(−7) = 7, значит условие выполнено.
Ошибка: считать, что −a всегда отрицательно. Так бывает только при a > 0; если a = −6, то −a = 6. Проверяйте знак самого числа a перед тем, как определять знак результата.
Ошибка: относить 0 к положительным или отрицательным числам. Нуль не имеет знака и противоположен самому себе. Для проверки вспомните запись −0 = 0 и положение нуля в начале отсчёта.
Ошибка: менять знак только у целых чисел. У дробей и десятичных чисел действует то же правило: −⅞ противоположно ⅞, а 2,6 противоположно −2,6. Проверьте ответ сложением двух чисел: должна получиться 0.
Ошибка: путать противоположные и обратные числа. У противоположных чисел сумма равна нулю, а у обратных произведение равно единице, если числа не равны нулю. Например, для 4 противоположное число −4, а обратное — ¼.
До изучения темы нужно знать положительные и отрицательные числа, их знаки и расположение на координатной прямой. Эти знания позволяют увидеть, почему пара чисел оказывается по разные стороны от нуля.
Противоположные числа понадобятся при сложении чисел с разными знаками и при вычитании. Например, вычитание числа можно будет заменить прибавлением противоположного числа.
Тема связана с модулем: у противоположных чисел модули равны. Поэтому по расстоянию до нуля можно проверить, правильно ли найден противоположный знак.
Как найти число, противоположное данному?
Нужно изменить знак числа на противоположный: плюс заменить на минус, а минус — на плюс. Например, числу 7 противоположно −7, а числу −2,4 — 2,4.
Может ли противоположное число быть положительным?
Да, может. Если исходное число отрицательное, то противоположное ему число будет положительным: числу −8 противоположно 8.
Какое число противоположно нулю?
Нулю противоположен сам нуль. Это записывают так: −0 = 0.
Чем противоположное число отличается от обратного?
У противоположных чисел сумма равна нулю: 6 + (−6) = 0. У обратных чисел произведение равно единице: 6 · ½ = 1.
Как расположены противоположные числа на координатной прямой?
Их точки находятся по разные стороны от нуля и на одинаковом расстоянии от него. Например, точки чисел −4 и 4 удалены от нуля на четыре единицы.
§ 2. Противоположные числа
