§ 20. Сравнение чисел. Модуль числа

Определения и обозначения

Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или числа равны, с помощью знаков >, < и =. Например, запись 7 > 3 означает: семь больше трёх. Сравнение нужно, чтобы располагать числа по порядку и выбирать между величинами.

Координатная прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением, на которой изображают числа. Начало отсчёта обозначают нулём, а вправо откладывают положительные числа, например 1, 2, 3. Такая прямая помогает увидеть положение чисел и сравнить их.

Противоположные числа — числа, расположенные на одинаковом расстоянии от нуля по разные стороны координатной прямой; их сумма равна нулю. Для числа 6 противоположным будет −6, потому что 6 + (−6) = 0. Это понятие нужно при работе с отрицательными числами и их модулями.

Модуль числа — расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой, до начала отсчёта. Его записывают так: |a|, например |−4| = 4. Модуль показывает удалённость числа от нуля и потому всегда является неотрицательным числом.

Как это устроено

На координатной прямой положительное направление принято направлять вправо. Чем дальше точка находится вправо, тем больше путь от начала отсчёта до неё, поэтому число становится больше. Значит, из двух чисел больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое расположено левее.

Положительные числа сравнивают так же, как знакомые натуральные: 8 > 5. Отрицательные числа располагаются слева от нуля, и среди них правее находится большее число: −2 > −6. Число положительного знака всегда больше любого отрицательного, потому что находится справа от нуля, а отрицательное — слева.

При сравнении отрицательных чисел порядок меняется по сравнению с их модулями. Например, −8 удалено от нуля на 8 единиц, а −3 — на 3 единицы; точка −3 находится правее. Поэтому −8 < −3, хотя 8 > 3. Чем меньше модуль отрицательного числа, тем ближе оно к нулю и тем больше оно само.

Модуль положительного числа равен самому числу: |7| = 7, потому что точка 7 удалена от нуля на 7 единиц. Модуль отрицательного числа равен противоположному положительному числу: |−7| = 7. Модуль нуля равен нулю, так как нулевая точка совпадает с началом отсчёта.

Противоположные числа находятся от нуля на одинаковом расстоянии, поэтому их модули равны: |−9| = |9| = 9. При сложении они уничтожают друг друга: −9 + 9 = 0. Это свойство позволяет быстро находить неизвестное противоположное число и проверять вычисления.

Сравнение чисел и нахождение модуля

Сначала определите, к какому случаю относится пример, а затем примените соответствующее правило. Если есть отрицательные числа, полезно представить их на координатной прямой или сравнить их модули. При нахождении модуля не забывайте, что результат не может быть отрицательным.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить числа −3 и 2, −5 и −2, 0 и −4

Нужно установить знак между каждой парой чисел. В каждой паре числа могут иметь разные знаки или оба быть отрицательными. Поэтому для разных пар применим разные правила.

1. Числа −3 и 2 имеют разные знаки. Положительное число 2 больше отрицательного, значит, −3 < 2.
2. Оба числа −5 и −2 отрицательные. Их модули равны 5 и 2; меньший модуль у −2, поэтому −5 < −2.
3. Число 0 и −4 сравниваем по положению на прямой: нуль расположен правее любого отрицательного числа. Значит, 0 > −4.

Ответ: −3 < 2, −5 < −2, 0 > −4. Проверить результат можно по координатной прямой: в каждой паре большее число находится правее.

Задача 2. Найти значения выражений |−7|, |4| и |0|

Каждый модуль означает расстояние от соответствующей точки до нуля. Расстояние не зависит от того, находится точка справа или слева от нуля. Поэтому знак числа учитываем, но отрицательного результата получить не можем.

1. Точка −7 находится в 7 единицах от нуля, значит, |−7| = 7.
2. Точка 4 находится справа от нуля на 4 единицы, поэтому |4| = 4.
3. Точка 0 совпадает с началом отсчёта, значит, расстояние до нуля равно нулю: |0| = 0.

Ответ: |−7| = 7, |4| = 4, |0| = 0. Все полученные значения неотрицательны, как и должно быть у расстояний.

Задача 3. Расположить числа по возрастанию

Нужно расположить числа −|3|, −1, |−2|, 0 и сравнить расстояния от них до нуля. Сначала вычислим выражения с модулями, чтобы не спутать знак числа с самим модулем. Затем расставим полученные числа на координатной прямой.

1. −|3| = −3, потому что |3| = 3, а знак минус перед модулем сохраняется.
2. −1 остаётся числом −1, а |−2| = 2. Получаем набор −3, −1, 2, 0.
3. В порядке возрастания числа идут слева направо: −3, −1, 0, 2.
4. Расстояния до нуля равны 3, 1, 0 и 2 соответственно. Значит, самое удалённое число из набора — −3, а ближайшее к нулю — 0.

Ответ: −|3| < −1 < 0 < |−2|. Расстояния от этих чисел до нуля: 3, 1, 0 и 2.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −8 больше −3, потому что 8 больше 3. Так происходит, если сравнивают только цифры и забывают о положении точек слева от нуля. Проверьте себя по прямой: −8 левее −3, значит, −8 < −3.

Ошибка: путать число и его модуль, например записывать |−5| = −5. Модуль обозначает расстояние, а расстояние не бывает отрицательным. Уберите знак числа мысленно и проверьте: |−5| = 5.

Ошибка: считать, что |0| равно 1 или −1. Нуль находится прямо в начале отсчёта, поэтому расстояние от него до самого себя равно нулю. Запомнить результат помогает запись |0| = 0.

Ошибка: сравнивать модули отрицательных чисел без изменения порядка. Из |−7| > |−4| следует не −7 > −4, а −7 < −4, потому что −7 дальше слева от нуля. После сравнения модулей мысленно проверьте положение точек на прямой.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь пользоваться координатной прямой, знать положительные и отрицательные числа, нуль и знаки сравнения. Эти знания позволяют понимать, где находится число и как записать результат сравнения. Без них трудно объяснить порядок чисел только по записи.

Правила сравнения пригодятся при сложении и вычитании отрицательных чисел, решении уравнений и работе с числовыми промежутками. Например, при выборе подходящего значения нужно понимать, какое число больше или меньше. Модуль помогает описывать расстояние между точками и расстояние до нуля.

Понятие модуля встречается в задачах, где важна удалённость, а не направление. Благодаря этому можно одинаково рассматривать числа 6 и −6: оба находятся в шести единицах от нуля. Такое понимание облегчает решение задач с расстояниями.

Что запомнить

• На координатной прямой больше то число, которое расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.
• Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.
• Модуль числа — неотрицательное расстояние от числа до нуля.
• Модуль положительного числа равен самому числу.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
• Противоположные числа имеют одинаковые модули.