§ 29. Положительные и отрицательные числа

Определения и обозначения

Положительное число – это любое число, больше нуля. Представьте себе числовую прямую: положительные числа находятся на ней справа от нуля. Они используются для обозначения приращения, прибыли, увеличения. Например, +5 означает увеличение на 5 единиц.

Отрицательное число – это любое число, меньше нуля. На числовой прямой эти числа располагаются слева от нуля. Они используются, когда мы говорим об уменьшении, убытке, долге. Например, -5 означает уменьшение на 5 единиц или наличие долга в 5 единиц.

Числовая прямая – это прямая линия, на которой выбрано направление (обычно слева направо) и точка отсчёта – ноль. Она служит для визуализации чисел и их сравнения. Чем правее на прямой находится число, тем оно больше.

Нуль – это число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Оно занимает особое положение на числовой прямой – служит границей между положительными и отрицательными числами.

Как это устроено

Появление отрицательных чисел было связано с необходимостью решать задачи, в которых вычитаемое оказалось больше вычитаемого. Представьте ситуацию: у вас было 10 рублей, а вы должны 15 рублей. Как описать эту ситуацию? Понадобилось ввести отрицательные числа, чтобы обозначить долг. Это позволило решить задачи, которые раньше были невозможны.

Примером использования отрицательных чисел в реальной жизни является температура воздуха. Температура ниже нуля градусов Цельсия – это пример отрицательного числа. Мы используем отрицательные числа, чтобы описывать холод и отличать его от тепла. Если на улице -5°C, это означает, что температура ниже точки замерзания воды.

Числовая прямая – это мощный инструмент для визуализации и сравнения чисел. Она помогает нам понять, какие числа больше, а какие меньше. Если число находится правее нуля, оно положительное, а если левее – отрицательное. Чем дальше число от нуля, тем больше его модуль.

Выбор начала отсчёта и направления на числовой прямой влияет на то, как мы представляем числа. Обычно начало отсчёта – это ноль, а направление – слева направо. Но можно выбрать и другое начало и другое направление. Главное, чтобы оно было указано однозначно.

Расстояние от точки до нуля на числовой прямой называется модулем числа. Модуль всегда является неотрицательным числом. Например, модуль числа 5 равен 5, а модуль числа -5 также равен 5. Модуль числа обозначается двумя вертикальными чертами: |x|.

Сравнение положительных и отрицательных чисел

Эта таблица поможет вам систематизировать знания о положительных и отрицательных числах и наглядно увидеть их различия. Используйте её, чтобы лучше понимать и запоминать определения.

Разбор задач

1. Задача: На числовой прямой отмечены точки A(+3), B(-2), C(0), D(+5). Расположите точки в порядке возрастания.
2. Решение: Чтобы расположить точки в порядке возрастания, нужно вспомнить, что числа, расположенные правее на числовой прямой, больше, чем те, что расположены левее. Таким образом: B(-2) находится левее всех, затем C(0), потом A(+3) и, наконец, D(+5).
3. Ответ: B(-2), C(0), A(+3), D(+5).

1. Задача: Температура воздуха утром была -5°C, а к полудню повысилась на 8°C. Какой стала температура воздуха к полудню?
2. Решение: Повышение температуры означает прибавление. Нужно сложить -5°C и +8°C. -5 + 8 = 3.
3. Ответ: Температура воздуха к полудню стала +3°C.

1. Задача: Игрок выиграл 10 рублей, а затем проиграл 15 рублей. Сколько рублей у него осталось (с учётом того, что изначально у него не было денег)?
2. Решение: Выигрыш – это положительное число, проигрыш – отрицательное. Нужно найти разность: 10 - 15 = -5.
3. Ответ: У игрока осталось -5 рублей, то есть он должен 5 рублей.

Типичные ошибки

Сравнение положительных и отрицательных чисел без учета числовой прямой: Многие ученики ошибочно считают, что большее по модулю число всегда больше. Например, они могут сказать, что -5 больше, чем 2. Важно помнить, что отрицательные числа меньше положительных, независимо от их модуля. Чтобы избежать ошибки, всегда представляйте числа на числовой прямой.

Неправильное определение знака числа в практических задачах: Часто возникает путаница между прибылью и убытком. Важно внимательно читать условие задачи и понимать, что обозначает каждое число. Прибыль – это положительное число, а убыток – отрицательное.

Ошибки при сложении и вычитании отрицательных чисел: Забывание правил изменения знака – распространенная ошибка. Например, при вычитании отрицательного числа нужно сложить числа. Чтобы избежать ошибки, внимательно следуйте правилам сложения и вычитания отрицательных чисел.

Непонимание роли нуля как нейтрального элемента: Некоторые ученики ошибочно включают ноль в положительные или отрицательные числа. Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Это особенное число, которое служит границей между положительными и отрицательными числами.

Связь с другими темами

Натуральные числа и целые числа: Понимание натуральных и целых чисел необходимо для понимания расширения числового ряда отрицательными числами. Отрицательные числа – это расширение понятия целых чисел.

Свойства сложения и вычитания: Эти свойства используются при выполнении операций с положительными и отрицательными числами. Например, переместительное и сочетательное свойства сложения позволяют упрощать вычисления.

Что запомнить

• Положительные числа находятся правее нуля на числовой прямой.
• Отрицательные числа находятся левее нуля на числовой прямой.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Модуль числа – это его расстояние от нуля на числовой прямой.
• При сложении чисел с разными знаками нужно вычесть меньшее по модулю число из большего и поставить знак числа с большим модулем.
• При вычитании числа из отрицательного числа нужно сложить эти числа.
• Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.