"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Случайное событие может произойти во время опыта, но заранее неизвестно, случится ли это. Вероятность помогает числом оценить такую возможность. Если все исходы опыта равновозможны, вероятность находят так: число исходов, подходящих событию, делят на общее число исходов. Полученное число находится от 0 до 1: ноль означает, что событие невозможно, а единица — что оно произойдёт обязательно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Случайное событие — событие, которое при проведении опыта может произойти, а может и не произойти. Например, при бросании кубика выпадение пятёрки возможно, но не гарантировано. Это понятие помогает описывать результаты, которые нельзя заранее точно предсказать.
Достоверное событие — событие, которое обязательно происходит при данном опыте. При бросании обычного кубика выпадет число от 1 до 6. Это определение нужно, чтобы отличать гарантированный результат от того, который зависит от случая.
Невозможное событие — событие, которое при данном опыте произойти не может. Например, на обычном кубике не может выпасть число 8. Так можно обозначить результат, исключённый условиями опыта.
Вероятность случайного события — число, показывающее, насколько возможно наступление события. Если исходы равновозможны, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Она помогает сравнивать шансы событий и оценивать, насколько часто событие может происходить.
Опыт — это действие, результат которого мы наблюдаем, например бросок кубика или выбор шара из коробки. Возможные результаты такого действия называют исходами. Событие наступает тогда, когда полученный исход подходит под его описание: при выпадении числа 4 событие «выпало чётное число» наступает, а событие «выпала пятёрка» — нет. Поэтому перед подсчётом вероятности нужно точно определить и опыт, и событие.
Одно и то же событие может быть невозможным, случайным или достоверным в зависимости от условий опыта. На обычном кубике выпадение числа 8 невозможно, а при выборе карточки из набора с числом 8 оно возможно. Если же карточки пронумерованы от 1 до 8, событие «выбрано число не больше 8» достоверно. Значит, вид события определяют не по его названию, а по тому, какие результаты допускают условия.
Чтобы найти вероятность, сначала перечисляют все равновозможные исходы, а затем отмечают те, при которых событие произойдёт. Исходы называют равновозможными, если ни один из них не имеет преимущества перед другими, как грани правильно сделанного кубика. Число подходящих результатов делят на общее число результатов: P = число благоприятных исходов / число всех исходов. Например, если подходят 2 исхода из 6, вероятность равна 2/6, то есть 1/3.
Число благоприятных исходов не может быть отрицательным и не может превысить общее число исходов. Поэтому их отношение находится между 0 и 1. Если подходящих исходов нет, событие невозможно и его вероятность равна 0; если подходят все исходы, событие достоверно и вероятность равна 1. Эти крайние значения помогают проверить, правильно ли записан ответ.
Вероятность можно записать обыкновенной дробью, десятичной дробью или процентом: например, 1/4 = 0,25 = 25%. Дробь показывает долю подходящих исходов среди всех, а процент — ту же долю из ста. Чем ближе вероятность к 1, тем больше подходящих исходов по сравнению с общим числом; чем ближе к 0, тем их меньше. Само число не обещает, что событие обязательно случится в одном опыте.
| Вид события | Что можно сказать о наступлении | Вероятность | Пример |
|---|---|---|---|
| Невозможное событие | Не наступит ни при одном исходе опыта | 0 | На обычном кубике выпало 8 |
| Случайное событие | Может наступить, но может и не наступить | От 0 до 1 | При бросании кубика выпало 5: 1/6 |
| Достоверное событие | Наступит при любом исходе опыта | 1 | На обычном кубике выпало число от 1 до 6 |
Сначала проверь условия опыта и реши, может ли событие произойти при одних, при всех или ни при каких исходах. Затем сравни это с таблицей: для невозможного события вероятность равна 0, для достоверного — 1. У случайного события значение находится между ними, если исходы равновозможны.
При бросании игрального кубика найти вероятность выпадения числа 5. Кубик имеет шесть граней с числами от 1 до 6, и при обычном броске каждый результат считают равновозможным. Событие произойдёт только при одном подходящем результате — если выпадет грань с числом 5.
Ответ: 1/6.
В коробке 4 красных и 6 синих шаров. Наугад достают один шар; нужно найти вероятность достать красный. Каждый шар — отдельный возможный результат, и при условии случайного выбора шары равновозможны. Красных шаров четыре, поэтому именно четыре результата подходят событию.
Ответ: 2/5.
В наборе карточки с числами от 1 до 20. Наугад выбирают одну карточку; нужно найти вероятность того, что число делится на 3 или на 5. Слова «или на 3, или на 5» означают, что подходят числа, делящиеся хотя бы на одно из этих чисел. Если число делится и на 3, и на 5, его всё равно считают только один раз, поскольку оно соответствует одной карточке.
Ответ: 9/20.
Посчитать благоприятные исходы и остановиться. Так происходит, если забыть, что вероятность — это не просто количество подходящих результатов, а их доля от всех результатов. После подсчёта числителя обязательно найди общее число исходов и раздели первое число на второе. Проверь, что ответ записан как вероятность, а не как количество предметов.
В знаменателе указать только подходящие исходы. Тогда числитель и знаменатель могут оказаться одинаковыми, и получится 1, хотя событие не обязательно. В знаменателе должно стоять число всех равновозможных исходов опыта, а в числителе — только тех, при которых событие наступает. Для проверки спроси себя: «Сколько всего результатов могло получиться?»
Считать исходы неравновозможного опыта равновероятными. Формулу отношения нельзя применять автоматически: например, при выборе предметов с разными шансами исходы могут быть неравными по вероятности. Проверь, есть ли основание считать каждый исход одинаково возможным. Если такого основания нет, одной формулы из этого параграфа недостаточно.
Получить вероятность меньше 0 или больше 1. Такое значение невозможно, ведь вероятность — доля от целого. Обычно ошибка возникает из-за неверного подсчёта или перестановки числителя и знаменателя. Проверь, что число благоприятных исходов неотрицательно и не больше общего числа, а ответ находится от 0 до 1.
Для решения задач на вероятность нужно уметь считать предметы и возможные исходы, находить долю от целого и записывать отношение в виде дроби. Эти навыки помогают правильно составить числитель и знаменатель. Понятие вероятности пригодится при изучении статистики, где анализируют данные и частоту событий, и комбинаторики, где считают способы выбора и расположения предметов. Оно также встречается в задачах о случайных опытах из повседневной жизни.
Чем случайное событие отличается от достоверного?
Случайное событие может произойти, но может и не произойти. Достоверное событие обязательно наступает при заданном опыте.
Как понять, какие исходы считать благоприятными?
Благоприятные исходы — это те результаты опыта, при которых нужное событие происходит. Например, при бросании кубика для события «выпало чётное число» подходят исходы 2, 4 и 6.
Почему вероятность не может быть больше 1?
Число благоприятных исходов не может быть больше общего числа исходов. Поэтому их отношение не превышает 1; вероятность также не может быть меньше 0.
Можно ли найти вероятность, если исходы неравновозможны?
Нельзя просто разделить число подходящих исходов на общее число: эта формула работает для равновозможных исходов. Для неравновозможных исходов нужны дополнительные сведения о том, как часто они происходят.
Как перевести вероятность из дроби в проценты?
Умножь дробь на 100 и добавь знак процента. Например, ¼ = 0,25 = 25%.
§28. Случайные события. Вероятность случайного события
