§27. Диаграммы

Определения и обозначения

Диаграмма — наглядное изображение числовых данных, которое помогает сравнивать величины и видеть их соотношения. Вместо того чтобы разбирать длинный список чисел, можно посмотреть на рисунок и быстрее заметить, где значение больше или меньше. Диаграмму используют, когда нужно представить результаты наблюдений, опроса или подсчёта. При этом числа не исчезают: они передаются с помощью столбцов, секторов или других элементов.

Столбчатая диаграмма — диаграмма, в которой значения изображают столбцами одинаковой ширины, а высота столбца соответствует значению. Под каждым столбцом обычно подписывают, к какой группе или категории он относится. Сравнивая высоты, можно быстро увидеть, какое значение больше, а какое меньше. Чтобы прочитать точное значение, нужно обратиться к шкале диаграммы.

Круговая диаграмма — диаграмма в виде круга, разделённого на секторы; размер каждого сектора показывает долю части в целом. Весь круг соответствует общему количеству, например числу всех учеников в кружке. Секторы показывают, как это количество распределено между группами. Поэтому круговая диаграмма нужна, когда важно представить состав целого, а не просто сравнить независимые числа.

Масштаб диаграммы — правило, по которому единицам или делениям на изображении соответствуют определённые числовые значения. Например, одно деление вертикальной шкалы может соответствовать двум страницам. Масштаб выбирают так, чтобы все данные поместились и их было удобно читать. Если не заметить шаг шкалы, можно неверно определить значение столбца.

Как это устроено

Числовые данные представляют диаграммой, чтобы сделать их сравнение наглядным. В списке числа приходится по очереди читать и мысленно сопоставлять, особенно если значений много. На диаграмме различия видны по длине столбцов или размеру секторов, поэтому быстрее заметить самое большое и самое маленькое значение. Таблица при этом может быть точнее для записи, а диаграмма удобнее для общего обзора.

Для столбчатой диаграммы сначала выбирают масштаб: определяют, сколько единиц будет соответствовать одному делению шкалы. Шаг должен быть удобным, а верхнее значение шкалы — не меньше самого большого числа из условия. Например, если максимум равен 18, можно взять шаг 2 и довести шкалу до 20. После этого каждому значению находят соответствующую высоту: при шаге 2 значение 12 располагается на шестом делении.

Чтобы прочитать столбчатую диаграмму, сначала находят подпись нужной категории, затем смотрят, до какого места доходит её столбец. По шкале определяют значение, учитывая шаг делений и единицу измерения. Высоты столбцов позволяют сравнить данные: более высокий столбец соответствует большему числу. Чтобы узнать, на сколько одно значение больше другого, находят их разность, а ответ записывают с подходящей единицей измерения.

Круговая диаграмма показывает не просто набор отдельных чисел, а части одного общего количества. Поэтому все секторы вместе составляют полный круг, а значения частей в сумме дают целое. Например, если круг изображает состав группы из 24 человек, то сектора должны представлять всех 24 человек без пропусков и повторного учёта. Чем больше часть общего количества, тем больший сектор ей соответствует.

Отвечая на вопрос по диаграмме, нужно сначала понять, что именно измеряется и в каких единицах. Затем следует найти нужную категорию, правильно прочитать шкалу и выполнить требуемое действие: сравнить значения или найти разность. Если отметка расположена между делениями, результат может быть приблизительным, поэтому нельзя приписывать ему лишнюю точность. При сравнении двух диаграмм также проверяют их масштабы: одинаковая высота столбцов не всегда означает одинаковые числа.

Виды диаграмм и их назначение

Сначала определи, что требуется выяснить: сравнить отдельные числа или увидеть состав целого. Для сравнения значений удобнее столбчатая диаграмма, а для распределения одного общего количества — круговая. При чтении всегда проверяй подписи, шкалу и единицы измерения.

Разбор задач

Задача 1. За неделю ученик прочитал 12, 15, 9, 18 и 14 страниц в понедельник, вторник, среду, четверг и пятницу. Построим столбчатую диаграмму. Удобно взять шкалу с шагом 1 страница, потому что значения небольшие и все их можно показать целыми делениями. По горизонтали расположим дни недели, а по вертикали подпишем число страниц.

1. Найдём наибольшее значение: это 18 страниц в четверг.
2. Проведём вертикальную шкалу от 0 до 18 с шагом 1. Можно выбрать и другой удобный шаг, если он позволяет точно показать все значения.
3. Подпишем дни по горизонтали и отметим для каждого дня столбец нужной высоты: 12, 15, 9, 18 и 14 делений.
4. Проверим, что столбцы одинаковой ширины, стоят над правильными днями и их высоты соответствуют данным.

Ответ: столбцы для понедельника, вторника, среды, четверга и пятницы должны иметь высоты соответственно 12, 15, 9, 18 и 14 страниц.

Задача 2. По столбчатой диаграмме продаж за три дня определите, в какой день продали больше всего товара и на сколько больше, чем в день с наименьшей продажей. В условии не приведены сами высоты столбцов, поэтому численный ответ получить нельзя; покажем, какие действия нужно выполнить по диаграмме. Важно не просто выбрать самый высокий столбец, а прочитать по шкале его значение и значение самого низкого столбца. Разность покажет, насколько продажи отличались.

1. Посмотрим на подписи дней и найдём столбец наибольшей высоты: он показывает день с максимальной продажей.
2. По вертикальной шкале прочитаем значение этого столбца, учитывая, сколько единиц приходится на одно деление.
3. Найдём самый низкий столбец и так же определим по шкале его значение.
4. Из наибольшей продажи вычтем наименьшую. К результату добавим единицу измерения, например штуки или килограммы, если она указана.

Ответ: день с самой высокой колонкой; разность равна значению этой продажи минус значение самой низкой продажи. Числа нужно считать с диаграммы.

Задача 3. В кружке 24 ученика: 12 занимаются рисованием, 8 — шахматами, остальные — музыкой. Нужно составить таблицу численности и описать, как представить данные круговой диаграммой. Сначала найдём число учеников, занимающихся музыкой: из общего количества вычтем учеников двух известных групп. Затем проверим, что все группы вместе дают 24 человека, потому что круг будет изображать именно весь кружок.

1. Вычислим число занимающихся музыкой: 24 − 12 − 8 = 4.
2. Запишем таблицу: рисование — 12 учеников; шахматы — 8 учеников; музыка — 4 ученика.
3. Для круговой диаграммы представим весь круг как 24 ученика и разделим его на секторы, соответствующие этим трём группам.
4. Проверим сумму: 12 + 8 + 4 = 24. Значит, данные охватывают всех учеников кружка.

Ответ: музыкой занимаются 4 ученика. В круговой диаграмме сектор рисования должен быть самым большим, сектор шахмат — меньше, а сектор музыки — самым маленьким; вместе они составляют круг.

Типичные ошибки

Считать значение столбца по его ширине. На столбчатой диаграмме столбцы делают одинаковой ширины, поэтому ширина не сообщает числовое значение. Ошибка возникает, когда ученик смотрит на форму столбца, а не на шкалу. Проверь себя: проследи от верхушки столбца до шкалы и считай именно высоту.

Принимать каждое деление шкалы за единицу. Деление может соответствовать двум, пяти или другому числу единиц, и тогда чтение «по одному» даст неверный ответ. Такое случается, если шкалу не изучить до сравнения столбцов. Перед чтением посмотри на подписанные числа и выясни, какой шаг между соседними отметками.

Сравнивать столбцы на диаграммах с разными масштабами без пересчёта. Одинаковая высота при разных шагах шкалы может обозначать разные значения. Это легко упустить, если смотреть только на рисунок. Проверь подписи вертикальных шкал и сравни числа, а не внешний вид столбцов.

Считать круговую диаграмму набором независимых значений. Её секторы обозначают части одного целого, поэтому их значения должны складываться в общий результат. Ошибка появляется, если забыть, что весь круг представляет всё количество. Для проверки сложи значения частей и сравни сумму с указанным общим количеством.

Связь с другими темами

Чтобы читать диаграммы, полезно уметь находить данные в таблице, сравнивать натуральные и десятичные числа и вычислять разность. Эти действия помогают определить, какое значение больше и на сколько. Для круговой диаграммы пригодятся знания о долях и дробях: сектор показывает часть целого. Диаграммы используют при изучении статистики и вероятности, а также для представления результатов наблюдений и опросов.

Что запомнить

• Диаграмма наглядно представляет числовые данные.
• Высота столбца соответствует значению по выбранной шкале.
• Перед чтением диаграммы выясни, что обозначают подписи и деления.
• Круговая диаграмма показывает части одного целого.
• Сумма значений всех частей круговой диаграммы равна общему значению.
• При сравнении данных учитывай масштаб и единицы измерения.