Диаграммы

Определения и обозначения

Диаграмма — наглядное представление числовых данных с помощью геометрических фигур, их размеров или частей целого. Вместо длинного списка чисел она помогает быстро увидеть различия и связи. Например, по диаграмме можно сравнить результаты учеников или понять, из каких частей состоит общий объём. Чтобы смысл был понятен, нужно знать, что именно обозначают фигуры и числа.

Столбчатая диаграмма — диаграмма, в которой значения сравниваются по высоте или длине столбцов. Каждый столбец относится к своей категории, например к имени ученика, а его размер показывает количество. Она нужна, когда требуется сравнить несколько отдельных результатов. Чем выше столбец, тем больше значение, если масштаб и начало шкалы одинаковы.

Круговая диаграмма — изображение целого круга, разделённого на секторы, соответствующие долям отдельных частей. Весь круг представляет общее количество, а каждый сектор — часть этого целого. Такая диаграмма нужна, чтобы видеть состав, например распределение предпочтений в классе. Размер сектора зависит от доли: чем она больше, тем большую часть круга занимает.

Линейная диаграмма — диаграмма, показывающая изменение величины с помощью точек, соединённых отрезками. По одной оси обычно располагают время или порядок наблюдений, по другой — значения величины. Она нужна, чтобы увидеть, когда показатель рос, снижался или оставался прежним. Наклон отрезка показывает направление изменения между соседними точками.

Как это устроено

Чтобы преобразовать числовую таблицу в диаграмму, сначала выделяют категории и значения. Каждому значению ставят в соответствие столбец, сектор или точку — выбор зависит от того, что требуется показать. Например, если таблица содержит количество книг у разных учеников, категории станут подписями столбцов, а числа определят их высоту. Такое соответствие позволяет переносить сведения из таблицы, не меняя самих данных.

Подписи категорий объясняют, к чему относится каждый столбец, сектор или точка. Масштаб нужен потому, что значения не всегда удобно изображать в натуральную величину: на шкале можно договориться, что одно деление соответствует, например, двум единицам. Единицы измерения показывают, что именно считают — книги, градусы или людей. Без этих сведений диаграмма может выглядеть аккуратно, но читатель не сможет однозначно понять её значения.

Вид диаграммы выбирают по вопросу, на который нужно ответить. Для сравнения отдельных величин удобны столбцы: их высоты легко сопоставить. Если важно показать, как общее число распределено между частями, подходит круг, поскольку целое сразу видно целиком. А чтобы проследить изменение показателя во времени, используют точки и соединяющие их отрезки: они показывают последовательность роста и снижения.

По высоте столбца значение находят, сопоставляя его верхний край с делениями шкалы. В круговой диаграмме сравнивают размеры секторов или определяют их доли от всего круга. На линейной диаграмме значение читают по положению точки относительно шкал обеих осей, а изменения — по соседним точкам. Такой способ чтения работает только при правильно подписанных осях и равномерных делениях.

Круг целиком соответствует 100 процентам, поэтому доли всех частей должны вместе составлять 100%. Если известны количества, сначала находят общее число, а затем определяют долю каждой части от общего числа. Когда доли не дают целое, значит, при вычислении или переносе данных допущена ошибка. Геометрически это же правило означает, что сумма углов секторов составляет 360°.

На столбчатой диаграмме книги прочитали Аня — 3, Борис — 5, Вера — 2, Глеб — 4. Подписи показывают категории, а числа задают высоту столбцов по шкале «количество книг». Поэтому диаграмма сразу позволяет сравнить результаты и найти наибольший. Сверь верх каждого столбца с подписанными делениями шкалы.

Виды диаграмм и их назначение

Сначала определи, какой вопрос нужно решить: сравнить значения, показать части целого или проследить изменение. Затем найди в таблице подходящий вид и проверь, какие данные он позволяет увидеть лучше всего. Примеры помогают связать способ изображения с задачей.

Разбор задач

Задача 1. По столбчатой диаграмме определить, сколько книг прочитали четыре ученика, и назвать ученика с наибольшим результатом. На диаграмме столбцы подписаны именами, а вертикальная шкала показывает количество книг. Чтобы не перепутать значения, нужно читать верх каждого столбца по шкале, а потом сравнить числа. Используем диаграмму выше, где значения указаны также в описании.

1. Найди на горизонтальной оси имя Ани и сопоставь её столбец со шкалой: он достигает 3.
2. Таким же способом прочитай остальные столбцы: у Бориса 5 книг, у Веры 2, у Глеба 4.
3. Сравни значения 3, 5, 2 и 4. Наибольшее число — 5, ему соответствует столбец Бориса.

Ответ: Аня прочитала 3 книги, Борис — 5, Вера — 2, Глеб — 4; больше всех прочитал Борис. При чтении настоящей диаграммы каждое число следует проверить по делениям шкалы. Если столбец находится между делениями, результат можно определить лишь приблизительно.

Задача 2. В классе 24 ученика: 12 предпочитают футбол, 8 — баскетбол, 4 — волейбол. Построить столбчатую и круговую диаграммы. Столбчатая диаграмма покажет, сколько учеников выбрали каждый вид спорта, а круговая — доли от класса. Для столбцов удобно взять масштаб 1 ученик = 1 единица высоты. Для круговой диаграммы сначала вычислим доли, иначе нельзя правильно разделить целое.

1. Проверь общее число: 12 + 8 + 4 = 24. Для столбчатой диаграммы построй три столбца высотой 12, 8 и 4 деления, подпиши категории и ось «Количество учеников».
2. Найди доли: футбол — 12/24 = 1/2, баскетбол — 8/24 = 1/3, волейбол — 4/24 = 1/6.
3. Переведи доли в углы: 1/2 × 360° = 180°, 1/3 × 360° = 120°, 1/6 × 360° = 60°. Раздели круг на три сектора с такими углами и подпиши их.

Ответ: столбцы имеют высоты 12, 8 и 4; круг разделён на сектора 180°, 120° и 60°. Проверка: 180° + 120° + 60° = 360°, а доли 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1. Значит, все части вместе составляют целый круг.

Задача 3. По линейной диаграмме температуры за неделю определить дни роста и снижения температуры, а также наибольшую разницу между соседними днями. Для решения нужны значения точек в том порядке, в котором идут дни. В имеющемся условии нет самих значений, поэтому конкретные дни и разницу назвать нельзя. Покажем алгоритм: подставь в него числа, прочитанные с диаграммы.

1. Запиши температуры по дням, например T₁, T₂, …, T₇, считывая каждую точку по шкале.
2. Сравни каждую пару соседних значений: если следующее больше, температура выросла; если меньше — снизилась; если равна — не изменилась.
3. Для каждой соседней пары найди разность по модулю: |T₂ − T₁|, |T₃ − T₂| и так далее. Наибольшая из этих разностей показывает самый сильный перепад.

Ответ: дни роста и снижения определяются по направлению отрезков между точками, а наибольшая разница — по максимальному модулю разности соседних значений. Например, отрезок, поднимающийся вправо, означает рост, а опускающийся — снижение. Точные дни и число градусов можно назвать только после чтения координат точек конкретной диаграммы.

Типичные ошибки

Сравнивать высоты столбцов, построенных по разным масштабам, нельзя: одинаковая высота при разных шагах шкалы может означать разные значения. Так ошибаются, когда смотрят только на картинку и не сверяют её с делениями. Проверь, что масштаб одинаков для всех сравниваемых столбцов, а шкала начинается от одной и той же отметки, обычно от нуля.

Сектор круговой диаграммы не равен самому числу: он показывает долю числа от общего количества. Ошибка возникает, если, например, 8 учеников принимают за 8% без вычисления доли. Для проверки раздели значение части на целое и убедись, что доли всех частей в сумме дают 1, или 100%.

На линейной диаграмме точки соединяют в порядке наблюдений, например по дням недели. Если перескочить через день или соединить точки не по порядку, линия покажет неверный ход изменения. Проверь подписи на оси времени и двигайся по ним последовательно слева направо.

Без подписей категорий, единиц измерения или делений шкалы диаграмму нельзя однозначно прочитать. Такие обозначения иногда забывают, потому что сосредоточены на столбцах и точках. Перед завершением постройки проверь, подписаны ли обе оси, указаны ли единицы и можно ли по шкале восстановить числовые значения.

Связь с другими темами

Для чтения диаграмм пригодятся умения работать с таблицами, сравнивать натуральные числа и пользоваться шкалой. Эти навыки помогают понять, откуда взялись данные и как соотнести их с делениями. Для круговой диаграммы нужно находить долю и процент числа: часть сравнивают с общим количеством. Диаграммы встречаются при изучении процентов, статистики и вероятности, а также в повседневных сообщениях о погоде, спорте и результатах опросов.

Что запомнить

• Диаграмма наглядно представляет числовые данные.
• Столбчатая диаграмма удобна для сравнения нескольких величин.
• Круговая диаграмма показывает состав целого и доли его частей.
• Линейная диаграмма показывает изменение величины.
• По диаграмме значение определяют с помощью масштаба и подписей.
• Сумма частей круговой диаграммы составляет целое, или 100 процентов.