§26. Цилиндр, конус, шар

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами, лежащими в параллельных плоскостях, и боковой поверхностью. Эти круги называют основаниями цилиндра, а поверхность между ними — боковой поверхностью. Такое описание помогает узнать цилиндр на модели и отличить его основания от окружающей их поверхности.

Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и боковой поверхностью, которая сходится в одной точке. Эту точку называют вершиной конуса, а круг — его основанием. По этим частям конус легко отличить от цилиндра: у него одно основание и есть вершина.

Шар — тело, все точки которого находятся от его центра на расстоянии, не большем заданного радиуса. Сферой называют только границу шара: каждая её точка удалена от центра ровно на радиус. Различие нужно, чтобы точно говорить о целом теле или только о его поверхности.

Радиус цилиндра — радиус его основания: отрезок от центра круга до точки на его окружности. Высота цилиндра — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. У конуса высота перпендикулярна плоскости основания и соединяет вершину с этой плоскостью, а радиус основания идёт от его центра до края.

Как это устроено

Цилиндр можно получить, вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон. Эта сторона остаётся на месте и становится осью вращения, а вместе с тем задаёт высоту цилиндра. Противоположная сторона движется по кругу, поэтому её длина становится радиусом основания. Две остальные стороны описывают боковую поверхность, а края прямоугольника проходят по границам оснований.

Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Катет, вокруг которого вращают фигуру, остаётся на месте и задаёт высоту конуса. Другой катет описывает круг, поэтому его длина равна радиусу основания. Гипотенуза при вращении заметает боковую поверхность и становится её образующей — отрезком от вершины к краю основания.

Если вращать полукруг вокруг его диаметра, получится шар. Диаметр остаётся осью вращения, а центр исходного круга становится центром шара. Все точки полукруга при вращении оказываются на расстоянии от центра не больше радиуса круга. Поэтому именно радиус исходного круга задаёт радиус полученного шара.

На рисунке или модели сначала ищи плоские части и характерные точки. У цилиндра найди два круга-основания и поверхность между ними; у конуса — круг, вершину и сходящуюся к ней боковую поверхность. У шара нет плоских оснований и вершины: его центр обычно отмечают внутри, а граница выглядит круглой на изображении. На плоском рисунке объёмные тела показаны условно, поэтому ориентируйся на положение и назначение отрезков.

Круг и окружность — не одно и то же: круг включает внутреннюю область, а окружность является только его краем. По этой причине основание цилиндра или конуса называют кругом, а не окружностью. Похожее различие есть у шара и сферы: шар включает внутренние точки, сфера ограничивает его. Слова помогают понять, описывается ли плоская область, всё тело или только их граница.

Сравнение цилиндра, конуса и шара

Сначала сравни основания и наличие вершины: это помогает определить тело. Затем проверь основные элементы и способ получения вращением. Таблица также напоминает, что шар не имеет оснований, а его граница называется сферой.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке цилиндра обозначены основания и несколько отрезков. Определите, какие из них являются радиусом основания, высотой и образующей. Названия определяются не направлением линии на листе, а её положением относительно оснований. Поэтому каждый отрезок нужно проверить по концам и по тому, куда он направлен.

1. Отрезок от центра основания до точки его окружности — радиус основания. Он лежит в плоскости круга и соединяет центр с краем.
2. Высота соединяет плоскости оснований перпендикулярно им. Если на рисунке есть наклонный отрезок между краями оснований, он не заменяет высоту.
3. Образующая боковой поверхности цилиндра соединяет соответствующие точки границ оснований. Сравни её с отмеченными отрезками: перпендикулярный отрезок между основаниями — высота, а наклонный — образующая.

Ответ: радиус лежит в основании и идёт от центра к окружности; высота перпендикулярна плоскостям оснований; образующая лежит на боковой поверхности и соединяет их границы.

Задача 2. Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращают вокруг каждой из сторон по очереди. Опишите получающиеся цилиндры и укажите их радиусы и высоты. При вращении выбранная сторона остаётся на оси и задаёт высоту, а длина соседней стороны задаёт радиус. Поэтому при смене оси размеры цилиндра меняются местами.

1. Вращаем прямоугольник вокруг стороны 3 см. Эта сторона задаёт высоту, значит, высота равна 3 см; другая сторона задаёт радиус, равный 5 см.
2. Теперь вращаем его вокруг стороны 5 см. Высота равна 5 см, а радиус равен длине другой стороны — 3 см.
3. В обоих случаях получается цилиндр с двумя равными круглыми основаниями. Меняются размеры, потому что при каждом вращении вокруг оси выбирают другую сторону.

Ответ: при вращении вокруг стороны 3 см радиус равен 5 см, высота — 3 см; при вращении вокруг стороны 5 см радиус равен 3 см, высота — 5 см.

Задача 3. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращают вокруг катета длиной 6 см. Назовите элементы тела и найдите радиус основания, высоту и образующую конуса. Сначала определим роль каждой стороны: ось вращения задаёт высоту, второй катет — радиус, гипотенуза — образующую. Чтобы найти её длину, используем теорему Пифагора.

1. Катет 6 см является осью вращения, поэтому высота конуса равна 6 см. Вершина находится на конце оси, а круг-основание образуется вращением другого катета.
2. Катет 8 см описывает основание, следовательно, радиус основания равен 8 см. Это расстояние от оси до края полученного круга.
3. Гипотенуза — образующая. По теореме Пифагора её длина равна √(6² + 8²) = √100 = 10 см.

Ответ: получился конус; его радиус равен 8 см, высота — 6 см, образующая — 10 см.

Типичные ошибки

Иногда окружность называют основанием цилиндра или конуса. Так происходит потому, что на рисунке виден край круга, но основание включает и внутреннюю область. Проверь себя: если речь о плоской части тела, говори «круг», а если только о её границе — «окружность».

Шар нередко смешивают со сферой, поскольку в обычной речи эти слова могут звучать похоже. Но шар включает внутренние точки, а сфера — только его граница. Чтобы проверить себя, спроси: имеются ли в описываемом объекте точки внутри? Если да, речь идёт о шаре.

Высоту конуса можно ошибочно принять за образующую, особенно если на рисунке обе линии идут от вершины. Высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая наклонена и доходит до окружности основания. Проверь, куда приходит отрезок и образует ли он прямой угол с плоскостью основания.

При описании вращения иногда меняют местами радиус и высоту. Причина в том, что обе величины связаны со сторонами исходной фигуры, но задаются по-разному. Радиус идёт от оси к краю основания, а высота направлена перпендикулярно основаниям; назови ось вращения, чтобы определить высоту.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в цилиндре, конусе и шаре, нужны знания о круге, окружности, радиусе и диаметре. Также пригодятся свойства прямоугольника и прямоугольного треугольника: именно эти фигуры вращают, чтобы получить цилиндр и конус. Если помнить, где проходит радиус и что значит перпендикуляр, легче распознавать элементы тел на рисунках.

Объёмные тела встречаются в предметах и задачах о реальных объектах. Представления об их частях и границах станут основой для изучения объёмов и площадей поверхностей. Эти знания помогут выбирать подходящую фигуру-модель и понимать, какие её размеры заданы в условии.

Что запомнить

• У цилиндра два равных параллельных основания-круга.
• У конуса одно основание-круг и одна вершина.
• Шар ограничен сферой, но шар и сфера — разные понятия.
• Радиус цилиндра — радиус его основания.
• Высота цилиндра — расстояние между плоскостями оснований.
• Высота конуса перпендикулярна плоскости основания.
• Вращение прямоугольника, прямоугольного треугольника и полукруга даёт модели цилиндра, конуса и шара соответственно.