§ 33. Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнить два числа — значит установить, какое из них больше, какое меньше или равны ли они. Например, для чисел 4 и 7 можно сказать, что 4 меньше 7. Сравнение помогает упорядочивать числа и выбирать верный результат при решении задач.

Знак > читают «больше», а знак < — «меньше»: 7 > 4, но 4 < 7. Раскрытая сторона знака обращена к большему числу, а остриё — к меньшему. Поэтому запись a > b равносильна записи b < a: в обеих случаях говорится, что a больше b.

Числовое неравенство — это запись, полученная при сравнении чисел с помощью знака > или <. Числа слева и справа от знака называются соответственно левой и правой частями неравенства. Например, в записи 3 < 8 левая часть — 3, а правая — 8; такое обозначение показывает порядок чисел.

Равные числа обозначают знаком =, например, 5 = 5. На координатной прямой равным числам соответствует одно и то же место, то есть одна точка. Это помогает отличить равенство от неравенства: если числа совпадают, между ними ставят знак =.

Как это устроено

Координатная прямая даёт наглядный способ сравнения: на ней числа возрастают слева направо. Значит, если точка одного числа расположена правее точки другого, первое число больше. Например, точка 3 находится правее точки −2, поэтому 3 > −2.

У чисел разных знаков порядок определяется знаком, а не величиной модуля. Положительное число находится справа от нуля, а отрицательное — слева, поэтому любое положительное число больше любого отрицательного. Нуль расположен между ними: он больше отрицательных чисел и меньше положительных.

Два положительных числа сравнивают обычным способом, как натуральные числа, обыкновенные или десятичные дроби. У натуральных чисел сначала сравнивают количество разрядов, а если оно одинаковое — цифры слева направо. У дробей применяют знакомые правила; например, десятичные дроби удобно записать с одинаковым количеством знаков после запятой и сравнить цифры одинаковых разрядов.

С двумя отрицательными числами нужно быть внимательнее: их порядок противоположен порядку модулей. Модуль показывает расстояние от числа до нуля, поэтому число с большим модулем находится дальше влево и является меньшим. Например, −9 < −4, хотя 9 > 4.

После сравнения запиши результат так, чтобы знак неравенства был направлен к большему числу. Проверить запись можно по координатной прямой: число слева должно находиться левее числа справа в записи вида a < b. Если расположение точек этому не соответствует, вероятно, знак выбран неверно.

Как сравнивать числа

Пользуйся таблицей как коротким планом: сначала определи знаки чисел, затем выбери подходящее правило и запиши сравнение. Пример в последнем столбце показывает направление знака. Для положительных чисел применяй известные правила сравнения натуральных чисел и дробей.

Разбор задач

Задача 1. Сравните −3 и 2. Нужно определить знаки чисел, потому что от этого зависит правило сравнения. Число −3 отрицательное, а число 2 положительное. На прямой отрицательное число расположено левее нуля, а положительное — правее.

1. Сравним знаки: числа имеют разные знаки.
2. Применим правило: любое положительное число больше любого отрицательного.
3. Запишем результат, поставив раскрытую часть знака к числу 2.

Ответ: −3 < 2.

Задача 2. Сравните −5 и −8. Оба числа отрицательные, поэтому сравнить только их модули недостаточно: порядок изменится на противоположный. Найдём модули: |−5| = 5, |−8| = 8. Так как 5 < 8, число −5 ближе к нулю и расположено правее −8.

1. Убедимся, что оба числа отрицательные.
2. Сравним их модули: 5 < 8.
3. Из двух отрицательных больше число с меньшим модулем, поэтому поставим знак > перед −5.

Ответ: −5 > −8.

Задача 3. Расположите числа −1,2; −1,05; 0; 1,15 в порядке возрастания. Порядок возрастания означает, что каждое следующее число больше предыдущего. Сначала отделим отрицательные числа от нуля и положительного числа: оба отрицательных меньше 0, а 1,15 больше 0. Теперь сравним отрицательные числа, записав −1,2 как −1,20.

1. Сопоставим отрицательные числа: модули 1,20 и 1,05. Поскольку 1,20 больше 1,05, то −1,20 меньше −1,05.
2. Добавим нуль и положительное число: −1,05 < 0 < 1,15.
3. Объединим сравнения в одну цепочку, проверив, что числа идут слева направо по возрастанию.

Ответ: −1,2 < −1,05 < 0 < 1,15.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −8 больше −5, потому что 8 больше 5. Так происходит, если сравнить модули и забыть, что для отрицательных чисел порядок обратный. Проверь себя: −8 расположено левее −5 на прямой, значит, −8 < −5.

Ошибка: считать отрицательное число больше положительного из-за большего модуля. Модуль не определяет порядок чисел разных знаков: отрицательные лежат слева от нуля, положительные — справа. Для проверки сравни сначала знаки, например, −100 < 2.

Ошибка: направить знак > или < не к тому числу. Часто путают, куда смотрит знак, особенно если числа записаны в обратном порядке. Прочитай запись вслух: в 3 < 6 должно быть «три меньше шести», а раскрытая сторона обращена к 6.

Ошибка: сравнивать десятичные дроби по числу цифр после запятой. Длина записи сама по себе не показывает, какая дробь больше: нужно сопоставить единицы, десятые, сотые и следующие разряды. Для проверки допиши нули, если нужно: 1,2 = 1,20, поэтому 1,20 > 1,15.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел нужны знания о координатной прямой, положительных и отрицательных числах, противоположных числах и модуле. Координатная прямая помогает увидеть порядок, а модуль — понять расстояние отрицательного числа от нуля. Дальше сравнение пригодится, когда нужно упорядочить рациональные числа, решить неравенство или оценить значение выражения. Например, сравнив результат с нулём, можно определить, положительный он или отрицательный.

Что запомнить

• На координатной прямой больше число, расположенное правее.
• Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
• Нуль больше любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
• Знаки > и < показывают, какое из сравниваемых чисел больше.
• При сравнении десятичных дробей сопоставляют цифры одинаковых разрядов.