"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Сравнение чисел помогает определить, какое число больше, меньше другого или равно ему. Для записи используют знаки >, < и =, а на координатном луче большее число находится правее. Натуральные числа сравнивают по количеству цифр и разрядам, дроби — с учётом числителей и знаменателей, десятичные дроби — поразрядно. Если числа записаны по-разному, их можно представить в одном виде. Эти правила нужны, чтобы упорядочивать числа, решать неравенства и проверять результаты вычислений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Иными словами, мы определяем взаимное положение двух чисел по величине. Это нужно, чтобы выбрать большее значение, расположить числа по порядку или проверить, верно ли записано неравенство.
Знак «>» обозначает отношение «больше»: запись a > b означает, что число a больше числа b. Например, 9 > 4, потому что девять предметов — большее количество, чем четыре. У знака раскрытая сторона обращена к большему числу, а острый конец — к меньшему.
Знак «<» обозначает отношение «меньше»: запись a < b означает, что число a меньше числа b. Например, 2 < 7 читают так: «два меньше семи». Знак можно представить как раскрытую пасть, обращённую к большему числу: в этой записи она смотрит вправо, на 7.
Равные числа — числа, имеющие одно и то же значение; для них используют знак «=». Например, 6 = 6, а также 0,5 = 0,50, хотя записи выглядят по-разному. Знак равенства помогает обозначить, что ни одно из чисел не больше другого.
На координатном луче из двух чисел больше то, которому соответствует точка правее. Луч направлен вправо и начинается в точке 0, а расстояния от начала показывают величины чисел. Поэтому чем дальше точка от начала луча, тем больше соответствующее ей число; этот способ наглядно показывает порядок чисел.
Натуральные числа сравнивают по количеству цифр: число с большим количеством цифр больше, потому что в нём больше единиц самого высокого разряда. Например, любое четырёхзначное число больше любого трёхзначного. Если цифр поровну, сравнивают разряды слева направо: первый различающийся разряд определяет, какое число больше.
Если у дробей одинаковые знаменатели, целое разделено на равное число частей. Поэтому достаточно сравнить числители: больше числитель — больше взятых одинаковых частей. При одинаковых числителях число взятых частей одно и то же, но чем на большее число частей разделено целое, тем каждая часть меньше; значит, больше дробь с меньшим знаменателем.
Десятичные дроби сравнивают поразрядно, как натуральные числа, записанные в одинаковых разрядах. Сначала сравнивают целые части, а если они равны — десятые, затем сотые и следующие разряды. Когда после запятой разное количество цифр, справа можно дописать нули: например, 2,4 = 2,40, поэтому сравнение становится удобнее, но значение числа не меняется.
Числа разных видов трудно сравнивать напрямую, потому что они записаны по-разному. Удобно преобразовать их в один вид: например, обыкновенную дробь перевести в десятичную, если перевод получается простым. Можно также отметить числа на координатной прямой: их положение сразу покажет, какое число меньше, а какое больше.
Найдите в таблице нужный вид чисел и следуйте указанному способу. Обратите внимание на условие в третьем столбце: правила для дробей зависят от того, одинаковы ли знаменатели или числители. Если числа представлены по-разному, сначала выберите удобное преобразование или используйте координатную прямую.
| Вид чисел | Как сравнивать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Натуральные числа | Сначала сравнить количество цифр, затем при равном количестве — разряды слева направо. | Первый различающийся разряд определяет результат. |
| Дроби с одинаковыми знаменателями | Сравнить числители. | Знаменатели показывают, что части одинакового размера. |
| Дроби с одинаковыми числителями | Больше дробь с меньшим знаменателем. | Целое разделено на разное количество частей. |
| Десятичные дроби | Сравнить целые части, затем десятичные разряды слева направо. | При необходимости дописать нули справа после запятой. |
| Числа на координатном луче | Сравнить положение соответствующих точек. | Правее — больше, левее — меньше. |
Сравните 468 и 482. Оба числа трёхзначные, поэтому количество цифр не позволяет сразу выбрать большее. Сопоставим разряды слева направо: так мы не будем отвлекаться на цифры, которые ещё не влияют на решение.
Ответ: 468 < 482. Сравнение можно было бы продолжить по единицам только в том случае, если бы разряды сотен и десятков совпали. Здесь результат уже определился на разряде десятков.
Сравните 3/7 и 5/7, а затем 3/5 и 3/8. В первой паре знаменатели равны, значит, сравниваются одинаковые по размеру части. Во второй паре одинаковы числители, поэтому нужно выяснить, в какой дроби каждая из трёх взятых частей крупнее.
Ответ: 3/7 < 5/7; 3/5 > 3/8. В первом сравнении больше та дробь, у которой числитель больше, а во втором — та, у которой знаменатель меньше. Эти выводы опираются на разные условия, поэтому важно сначала проверить, какие части дробей совпадают.
Сравните 2,4; 2,35 и 2 3/8. Чтобы сравнить числа поразрядно, запишем все их десятичными дробями: смешанное число 2 3/8 равно 2,375. Для десятичной дроби 2,4 допишем нули, чтобы разряды было удобно сопоставлять.
Ответ: 2,35 < 2 3/8 < 2,4. При сравнении сотых в последнем шаге учитываем, что в записи 2,375 цифра сотых — 7, а не 5. Приписанный к 2,4 ноль помогает видеть разряды, но не меняет величины числа.
Нельзя считать, что дробь с большим знаменателем всегда больше. Так думают, замечая, что знаменатель — это число, но он показывает размер частей: при одинаковом числителе больше знаменатель означает более мелкие части. Проверьте себя на примере 1/5 и 1/8: одна пятая больше одной восьмой.
Не сравнивайте десятичные дроби только по числу цифр после запятой. Длинная запись не обязательно обозначает большее число, поэтому сначала выровняйте разряды, приписав нули справа. Например, 0,5 = 0,50, а неравенство по длине записи здесь было бы ошибочным.
Сравнивать натуральные числа только по последней цифре нельзя: единицы могут оказаться меньше, хотя всё число больше. Ошибка возникает, когда внимание сосредоточено на знакомой последней цифре; сначала сравните количество цифр, а затем разряды слева направо. Для проверки можно сопоставить 468 и 482: решение определяют десятки, а не единицы.
Не путайте направление знаков «>» и «<». Их острые концы похожи, поэтому легко повернуть знак не туда; раскрытая сторона всегда обращена к большему числу. Проверьте запись 7 > 2: широкая часть смотрит на 7, а острый конец — на 2.
Чтобы уверенно сравнивать числа, нужно знать разрядный состав натуральных чисел, уметь читать обыкновенные и десятичные дроби и понимать, как числа расположены на координатном луче. Эти знания объясняют, почему работают правила сравнения и как преобразовать запись. Сравнение пригодится, когда нужно упорядочить числа, решить неравенство или определить, какой из результатов вычислений больше; оно помогает проверять и смысл полученного ответа.
Как понять, куда направлен знак «больше»?
Открытая, широкая сторона знака обращена к большему числу, а острый конец — к меньшему. Например, в записи 8 > 3 число 8 больше числа 3.
Как сравнить дроби с разными знаменателями?
Можно привести дроби к общему знаменателю: тогда сравнить нужно будет числители. Другой способ — представить дроби десятичными числами, если это удобно.
Почему 0,5 и 0,50 — равные числа?
Ноль, приписанный справа после запятой, не меняет значения десятичной дроби. Поэтому 0,5 = 0,50: обе записи обозначают пять десятых.
Как сравнить десятичные дроби, если у них разное количество цифр после запятой?
Припишите нули справа к той дроби, у которой меньше цифр после запятой. Затем сравните целые части и цифры десятичных разрядов слева направо.
Можно ли сравнивать числа, расположив их на координатном луче?
Да. Отметьте числа на луче: точка, расположенная правее, соответствует большему числу, а точка левее — меньшему.
2.3. Сравнение чисел
