1.5. Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Результат записывают с помощью знаков сравнения. Это нужно, чтобы расположить числа по порядку и проверить условие задачи.

Знаки сравнения: «>» означает «больше», «<» — «меньше», «=» — «равно». Запись 9 > 4 читают: «девять больше четырёх», а 4 < 9 — «четыре меньше девяти». Равенство 6 = 6 читают: «шесть равно шести».

Числовой луч — луч с началом, единичным отрезком и направлением, на котором числа изображают точками. Единичный отрезок показывает расстояние между соседними целыми числами. Луч помогает сравнивать числа по положению их точек.

Координата точки — число, соответствующее точке на числовом луче. Если точка A имеет координату 3, пишут A(3). Координата точки, расположенной правее, больше координаты точки слева, поэтому по координатам можно сравнить и сами точки.

Как это устроено

На числовом луче числа расположены по возрастанию слева направо. Каждый следующий шаг вправо добавляет одну единицу, поэтому координата увеличивается. Например, точка с координатой 6 стоит правее точки с координатой 2, значит, 6 > 2.

У натуральных чисел с разным количеством цифр больше то, у которого цифр больше. Причина в том, что появление нового разряда означает увеличение числа как минимум в десять раз: любое четырёхзначное число больше любого трёхзначного. Поэтому 2456 > 987, даже если последняя цифра 987 больше последней цифры 2456.

Если цифр в числах поровну, их сравнивают поразрядно слева направо. Сначала смотрят на старший разряд, потому что он имеет наибольший вес: одна сотня важнее любой разницы в десятках и единицах. Если старшие цифры равны, переходят к следующему разряду и продолжают до первой разницы.

Равные числа обозначают знаком «=»: например, 318 = 318. Если одно число больше другого, сравнение можно записать наоборот, поменяв числа и знак: 12 > 7 означает то же, что 7 < 12. Такая запись показывает один и тот же порядок чисел с разных сторон.

Сравнение помогает упорядочивать числа и проверять условия «больше», «меньше» или «не меньше». Фраза «не меньше 20» означает «20 или больше», поэтому подходят 20, 21, 100 и другие большие числа. Чтобы не ошибиться, полезно сначала определить способ сравнения, а затем записать результат знаком.

Способы сравнения чисел

Выберите строку, которая подходит к условию задачи. Если числа изображены на луче, сравните положение точек, а если даны только записи, посчитайте цифры и сопоставьте разряды. Последний столбец показывает образец рассуждения.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 47 и 52. Оба числа двузначные, поэтому одного подсчёта цифр недостаточно. Сравним их десятки: у 47 стоит 4 десятка, а у 52 — 5 десятков. Уже на этом разряде результат определён.

1. Записываем числа: 47 и 52.
2. Сравниваем цифры десятков: 4 < 5.
3. Ставим знак «меньше» между числами.

Ответ: 47 < 52.

Задача 2. Сравните 638 и 683. В обоих числах по три цифры, поэтому сравниваем их слева направо. Сотни одинаковы: 6 = 6. В десятках 3 меньше 8, значит, всё число 638 меньше 683; единицы уже не могут изменить результат.

1. Сравниваем сотни: 6 = 6.
2. Переходим к десяткам: 3 < 8.
3. Записываем знак «меньше».

Ответ: 638 < 683.

Задача 3. Расположите числа 407, 74, 740 и 704 в порядке возрастания. Возрастание означает движение от меньшего числа к большему. Сначала отделим двузначное число от трёхзначных, а затем сравним трёхзначные по разрядам. Среди 407, 740 и 704 сотни у 407 меньше, чем у двух остальных, а у 740 и 704 сотни равны; сравним их десятки.

1. 74 — единственное двузначное число, поэтому оно наименьшее.
2. Сравниваем 407, 740 и 704: 4 сотни меньше 7 сотен, значит, 407 идёт следующим.
3. У 740 и 704 одинаковые сотни, но 4 десятка у 704 меньше 4? Нет, десятки равны: в 740 — 4 десятка, в 704 — 0 десятков. Поэтому 704 < 740.

Ответ: 74, 407, 704, 740.

Типичные ошибки

Сравнивать по последней цифре. Например, можно ошибочно решить, что 248 больше 351, потому что 8 > 1. Так делают, когда смотрят только на единицы; проверяйте сначала самый левый разряд, и тогда увидите: 2 сотни меньше 3 сотен.

Переходить к младшим разрядам слишком рано. Если сотни уже различаются, десятки и единицы не нужны: 623 < 712 независимо от их значений. Самопроверка проста: найдите первый слева разряд, в котором цифры не совпадают.

Путать знаки «>» и «<». Ошибка возникает, если запомнить только название знака, но не его направление. Острие всегда направлено к меньшему числу, а раскрытая сторона — к большему; можно прочитать запись словами.

Неверно учитывать количество цифр и нули. Для натуральных чисел больше цифр означает большее число, но начальные нули значения не меняют: 007 = 7. Нули внутри записи занимают разряды, поэтому 405 и 45 — разные числа, а 405 > 45.

Связь с другими темами

До сравнения чисел нужно знать натуральные числа, разрядный состав и десятичную запись. Именно разряды объясняют, почему сотни сравнивают раньше десятков, а десятки — раньше единиц. Без этого трудно понять порядок действий при сравнении.

Числовой луч связывает запись числа с его положением. Он позволяет увидеть, что координата правой точки больше координаты левой. Такой способ особенно полезен, когда числа нужно расположить по порядку.

Сравнение пригодится при упорядочивании чисел, решении неравенств и выборе действий в текстовых задачах. По условию «не меньше» выбирают число, равное заданному или превышающее его. По условию «меньше» равное число уже не подходит.

Что запомнить

• На числовом луче правее расположено большее число.
• Знак «>» читают «больше», знак «<» — «меньше».
• У натурального числа с большим количеством цифр значение больше.
• Числа одинаковой разрядности сравнивают слева направо.
• Первый различающийся разряд определяет, какое число больше.
• Равные числа соединяют знаком «=».