1.6. Округление натуральных чисел

Определения и обозначения

Округление натуральных чисел — это замена числа ближайшим числом с нужным разрядом точности. Например, 347 можно заменить числом 350, если требуется округление до десятков. Такое действие помогает работать с большими числами проще и быстрее.

Округлить до десятков, сотен или тысяч значит сохранить выбранный разряд, а более мелкие разряды справа считать несущественными. При округлении до десятков главной становится цифра десятков, до сотен — цифра сотен, до тысяч — цифра тысяч. Название разряда подсказывает, какую цифру нужно проверять и изменять.

Полученное после округления число называют приближённым значением исходного. Для его обозначения используют знак ≈, который читают «приближённо равно»: 347 ≈ 350. Такой знак нужен потому, что округлённое число обычно не равно исходному точно.

Решение зависит от цифры следующего разряда — цифры, которая стоит сразу справа от выбранного разряда. По ней определяют, оставить ли выбранную цифру прежней или увеличить её на единицу. Поэтому при округлении до сотен смотрят на десятки, а не на последнюю цифру всего числа.

Как это устроено

Сначала выбирают разряд, до которого требуется округлить число. Все цифры справа от него затем заменяют нулями: так сохраняется общий порядок числа и становится видно, что единицы, десятки или сотни больше не учитываются. Например, при округлении до сотен результат обязательно оканчивается двумя нулями.

Если цифра сразу справа от выбранного разряда равна от 0 до 4, цифру округляемого разряда не изменяют. Число в таком случае ближе к варианту, который получается без увеличения. Например, в числе 342 при округлении до десятков цифра единиц равна 2, поэтому 342 ≈ 340.

Если следующая цифра равна от 5 до 9, цифру выбранного разряда увеличивают на единицу. Это нужно потому, что исходное число ближе к следующей круглой десятке, сотне или тысяче. Так, в числе 347 цифра единиц равна 7, поэтому десятки увеличиваются: 347 ≈ 350.

Иногда увеличиваемая цифра равна 9, и тогда одной цифрой справа налево не обойтись. В разряде округления записывают 0, а единицу переносят в следующий разряд. Например, 296 при округлении до десятков даёт 300: 9 десятков превращаются в 0 десятков и добавляют 1 сотню.

Правило выбирает ближайшее число с нужными разрядами, поэтому округлённое значение отличается от исходного не слишком сильно. Проверить результат можно сравнением: при округлении до десятков он должен находиться рядом с исходным и оканчиваться нулём. Также полезно убедиться, что разность не превышает половины выбранной единицы: при округлении до сотен она обычно не больше 50.

Правила округления натуральных чисел

В таблице сначала найдите цифру сразу справа от выбранного разряда. Затем выберите соответствующее правило и не забудьте заменить нулями все цифры правее разряда округления. Последняя строка показывает, как эти действия выглядят в готовых примерах.

Разбор задач

Округление до десятков

Задача. Округлите число 347 до десятков. Нужно сохранить разряд десятков и выяснить, увеличивать ли его.

1. Цифра десятков — 4, цифра сразу справа, в разряде единиц, — 7.
2. Цифра 7 относится к группе от 5 до 9, поэтому 4 увеличиваем до 5.
3. Единицы заменяем нулём и получаем 350.

Ответ: 347 ≈ 350.

Округление до сотен и тысяч

Задача. Округлите число 6 758 до сотен, а затем до тысяч. Для каждого пункта разряд выбирается заново, поэтому и проверяемая цифра будет другой.

1. До сотен: цифра сотен — 7, следующая цифра, цифра десятков, — 5. Увеличиваем 7 до 8 и заменяем десятки и единицы нулями: 6 758 ≈ 6 800.
2. До тысяч: цифра тысяч — 6, следующая цифра, цифра сотен, — 7. Увеличиваем 6 до 7 и заменяем сотни, десятки и единицы нулями: 6 758 ≈ 7 000.

Ответ: до сотен — 6 800, до тысяч — 7 000.

Оценка численности населения

Задача. В городе живут 48 672 человека. Оцените численность населения с точностью до тысяч. Знак приближения нужен потому, что после округления мы получаем не точное число жителей, а удобную оценку.

1. Выбираем разряд тысяч: в числе 48 672 это цифра 8.
2. Смотрим на следующую цифру, цифру сотен: это 6. Она лежит между 5 и 9, поэтому 8 увеличиваем до 9.
3. Цифры сотен, десятков и единиц заменяем нулями: 48 672 ≈ 49 000.

Ответ: численность населения примерно 49 000 человек.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Ученик смотрит на последнюю цифру числа, хотя округляет до сотен или тысяч. Так происходит из-за смешения всех цифр справа в одну группу. Проверяйте именно цифру сразу справа от выбранного разряда.

Ошибка 2. При цифре от 0 до 4 выбранную цифру увеличивают. Причина — запоминание только части правила про увеличение. Проверьте: если следующая цифра 0, 1, 2, 3 или 4, выбранный разряд остаётся прежним.

Ошибка 3. Цифру увеличивают, но цифры справа оставляют как были. Тогда получается число не с тем разрядом точности. После изменения выбранной цифры перечеркните все цифры справа и поставьте вместо них нули.

Ошибка 4. При цифре 9 не выполняют перенос в следующий разряд. Например, нельзя записать 19 десятков как 10 десятков без добавления сотни. Проверьте вычисление на примере: 196 до десятков равно 200.

Связь с другими темами

До округления нужно уметь определять разрядный состав натурального числа: единицы, десятки, сотни и тысячи. Без этого трудно выбрать нужную цифру и цифру для проверки. Полезно также уметь сравнивать числа, чтобы понимать, какое круглое число ближе.

Округление связано с прикидкой результатов вычислений и оценкой величин. Оно помогает быстро проверить, похож ли точный ответ на правдоподобный. В задачах о расстоянии, деньгах или количестве предметов округлённое число часто записывают как приближённый ответ.

Что запомнить

• Сначала выбери разряд, до которого округляешь число.
• Смотри на цифру, стоящую сразу справа от выбранного разряда.
• Если эта цифра от 0 до 4, выбранную цифру не меняй.
• Если эта цифра от 5 до 9, увеличь выбранную цифру на единицу.
• Все цифры справа от выбранного разряда замени нулями.
• При увеличении цифры 9 учитывай перенос в следующий разряд.
• Округлённое число обычно является приближённым значением исходного.