Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — это установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Оно позволяет расположить числа по порядку и выбрать подходящее значение в задаче. Результат сравнения записывают с помощью специальных знаков. Например, запись 4 < 7 показывает, что число 4 меньше числа 7.

Знак < читают «меньше», знак > — «больше», а знак = — «равно». В неравенстве острый конец знака обращён к меньшему числу, а раскрытая часть — к большему: 2 < 9 и 9 > 2. Знаки < и > называют знаками неравенства. Они помогают кратко записывать порядок чисел.

Числовая прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Началу соответствует ноль, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Каждому числу соответствует точка на прямой. Её положение помогает увидеть, какое число больше.

Модуль числа — расстояние от соответствующей ему точки до начала отсчёта. Например, модуль числа −4 равен 4, а модуль числа 4 тоже равен 4: |−4| = |4| = 4. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль любого числа неотрицателен. Модуль помогает сравнивать отрицательные числа, но сам по себе не определяет, какое из них больше.

Как это устроено

На числовой прямой положительное направление обычно выбирают вправо, а ноль служит началом отсчёта. Когда мы двигаемся вправо, пройденное расстояние от нуля увеличивается, поэтому увеличиваются и соответствующие числа. Отрицательные числа располагаются слева от нуля, положительные — справа. Так порядок чисел определяется самим расположением точек: правее означает больше.

Положительные целые числа сравнивают, начиная со старшего разряда: сначала сотни, затем десятки, единицы и так далее. Если цифры в каком-то разряде различаются, больше то число, где эта цифра больше; до этого разряда числа были одинаковы. Десятичные дроби сравнивают похоже: сперва целые части, затем десятые, сотые и следующие разряды. Нули справа после запятой можно добавлять, потому что они не меняют значения разрядов, например 3,5 = 3,50.

Если числа имеют разные знаки, одно расположено слева от нуля, а другое — справа. Поэтому любое положительное число больше любого отрицательного: точка положительного числа всегда правее. Например, 0,01 > −100, хотя модуль отрицательного числа намного больше. Здесь важно учитывать не величину расстояния от нуля, а сторону, на которой находится точка.

У отрицательных чисел порядок устроен наоборот по сравнению с их модулями. Например, −2 находится правее −5, потому что до нуля от него всего 2 единицы, а от −5 — 5 единиц. Значит, −2 > −5, хотя |−2| < |−5|. Чем ближе отрицательное число к нулю, тем оно больше; большее по модулю отрицательное число расположено левее.

Сравнение можно свести к проверке разрядов или к сравнению равных дробей. Для десятичных записей выравнивают число цифр после запятой нулями и последовательно сравнивают целые части и разряды. Обыкновенные дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю, чтобы сравнивать части одного и того же размера. Если сравниваются отрицательные числа, после такого преобразования нужно помнить: большему модулю соответствует меньшее число.

Способы сравнения чисел

Выбери в таблице строку, которая подходит к сравниваемым числам, и выполни указанное действие. В примерах знак показывает результат сравнения. Для отрицательных чисел после сравнения модулей не забудь учесть расположение на числовой прямой.

Разбор задач

Задача. Сравните 47 и 52.
Решение.

1. Оба числа положительные и двузначные, поэтому сначала сравним цифры десятков. В числе 47 их 4, а в числе 52 — 5.
2. Пять десятков больше четырёх десятков, значит, 52 больше 47. Цифры единиц здесь уже не влияют на результат: разница обнаружилась в старшем разряде.

Ответ: 47 < 52. Ту же проверку можно представить на числовой прямой: точка 47 находится левее точки 52.

Задача. Сравните −3,7 и −3,65.
Решение.

1. В записи −3,7 после запятой одна цифра, поэтому дополним её нулём: −3,70. Значение числа не меняется, так как ноль добавлен справа после запятой.
2. Сначала сравним положительные модули: 3,70 > 3,65. Но перед нами отрицательные числа, поэтому больше то, чей модуль меньше; число −3,70 расположено левее −3,65.

Ответ: −3,7 < −3,65. Проверка по прямой подтверждает результат: −3,7 дальше от нуля влево, чем −3,65.

Задача. Сравните −5/6 и −7/9.
Решение.

1. Чтобы сравнить дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 9 — 18: −5/6 = −15/18, а −7/9 = −14/18.
2. Из отрицательных чисел −15/18 меньше, чем −14/18: его модуль больше, значит, на прямой оно левее. Поэтому нельзя переносить на исходные числа привычное сравнение положительных числителей без учёта знака.

Ответ: −5/6 < −7/9. Равные знаменатели позволили сравнить дроби, а знак минус определил направление неравенства.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль больше. Например, можно ошибочно заключить, что −8 > −3, потому что 8 > 3. Так происходит, если сравнивать только расстояния до нуля и забыть о направлении. Проверь ответ на числовой прямой: −8 левее −3, значит, −8 < −3.

Ошибка: сравнивать десятичные дроби по количеству цифр после запятой. Например, запись 2,4 короче, чем 2,35, но это не делает её меньшей. Количество знаков не показывает величину числа: сравнивают целую часть и цифры одинаковых разрядов. Для проверки допиши справа нуль: 2,40 > 2,35.

При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Это неверно: порядок чисел при таком действии меняется, например 2 < 5, но −2 > −5. Ошибка появляется, если правило для положительного множителя автоматически применяют к отрицательному. Подставь простые числа в исходное и полученное неравенства, чтобы проверить направление.

Ещё одна ошибка — путать направление знаков < и > или читать их от неверного числа. Причина обычно в том, что знак воспринимают как стрелку, а не как отношение двух чисел. Помни: острый конец смотрит на меньшее число, раскрытая часть — на большее. После записи прочитай неравенство словами: например, 4 < 6 — «четыре меньше шести».

Связь с другими темами

Для сравнения нужны знания о натуральных и целых числах, дробях и десятичной записи: без них нельзя уверенно читать разряды, знаки и знаменатели. Порядок чисел помогает решать неравенства и выбирать допустимые значения переменной, то есть те значения, при которых выражение имеет смысл или условие задачи выполняется. Числовая прямая используется при изучении координат и числовых промежутков. Позже тот же порядок помогает понимать графики функций и определять, где значения функции больше или меньше заданных.

Что запомнить

• На числовой прямой большее число расположено правее меньшего.
• Любое положительное число больше любого отрицательного.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
• При сравнении десятичных дробей сначала сравнивают целые части, затем цифры соответствующих разрядов.
• Равные дроби обозначают одним и тем же числом.
• При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняют на противоположный.