1.4. Единичный отрезок, координаты, числовой луч

Определения и обозначения

Единичный отрезок — отрезок, длину которого принимают за единицу измерения. Его можно выбрать любой удобной длины, например 1 см или 2 см. Выбор единичного отрезка задаёт масштаб: если он длиннее, одинаковое число единиц занимает больше места на чертеже. Поэтому единичный отрезок нужен, чтобы измерять расстояния и одинаково откладывать единицы.

Координатный луч — луч, для которого выбраны начало отсчёта, направление и единичный отрезок. Начало отсчёта показывает, откуда ведут счёт, направление — куда откладывают единицы, а единичный отрезок задаёт расстояние между ними. Без любого из этих элементов нельзя однозначно определить, где на луче будет находиться число. Координатный луч нужен для изображения чисел точками.

Координата точки на луче — число, показывающее, сколько единичных отрезков отделяет эту точку от начала луча. Например, если от начала до точки укладываются четыре единичных отрезка, её координата равна 4. Координату записывают рядом с обозначением точки: A(4). Это число помогает точно указать положение точки, не измеряя каждый раз расстояние в сантиметрах.

Числовой луч — координатный луч, на котором точкам соответствуют числа, а числам — точки. Его используют, чтобы изображать и сравнивать числа: чем дальше точка расположена от начала в направлении луча, тем больше её координата. Для построения числового луча нужно договориться о начале, направлении и единичном отрезке. Тогда отметки на луче можно читать и строить по числам.

Как это устроено

У координатного луча есть три части, и каждая нужна для точного отсчёта. Если не указать начало, неизвестно, откуда считать расстояние; если не выбрать направление, непонятно, куда откладывать числа. А без единичного отрезка нельзя решить, какое расстояние соответствует одной единице. Поэтому только вместе эти элементы однозначно задают положение чисел на луче.

Чтобы построить числовой луч, сначала отметь точку начала и проведи из неё луч в выбранную сторону. Затем выбери единичный отрезок и отложи его от начала: конец первого отрезка будет отметкой 1. Повтори это действие, чтобы получить отметки 2 и 3, и так далее. Повторение одного и того же отрезка сохраняет равные промежутки между соседними целыми числами.

Координату точки находят, сравнивая расстояние от начала до точки с единичным отрезком. Посчитай, сколько единичных отрезков укладывается на этом пути: полученное число и будет координатой. Координаты отсчитывают от начала в направлении луча, а не в обратную сторону. Запись A(3) означает, что точка A находится на третьей единичной отметке от начала.

Чтобы построить точку по заданной координате, начни от начала луча и двигайся в его направлении. Если дана координата 4, отложи подряд четыре единичных отрезка и отметь конец последнего. Это работает потому, что координата показывает количество единиц до точки. После построения можно проверить себя: пересчитай отрезки от начала, не пропуская и не считая один и тот же отрезок дважды.

Одна и та же точка может иметь разные координаты на разных лучах, если единичные отрезки выбраны неодинаково. Например, одно и то же расстояние может составлять пять коротких единиц или две с половиной более длинных. Значит, координата зависит не только от положения точки, но и от выбранного масштаба. Чтобы сравнить координаты, нужно знать, какой единичный отрезок принят на каждом луче.

Элементы числового луча и их назначение

Таблица показывает, какую роль играет каждый элемент при работе с лучом. Если нужно построить точку, двигайся сверху вниз: найди начало и направление, затем используй единичный отрезок и координату. Так проще проверить, что при построении учтены все необходимые условия.

Разбор задач

Задача 1. На луче единичный отрезок имеет длину 1 см. Найдите координату точки, отстоящей от начала луча на 5 см. Здесь расстояние дано в сантиметрах, а координата показывает число единичных отрезков. Поэтому нужно выяснить, сколько отрезков длиной 1 см помещается на пути до точки.

1. Запишем длину всего пути: 5 см.
2. Разделим её на длину единичного отрезка: 5 ÷ 1 = 5.
3. Полученное число единиц является координатой точки.

Ответ: координата точки равна 5.

Задача 2. Постройте числовой луч с единичным отрезком 2 см и отметьте точки A(3) и B(6). Координата говорит, сколько единиц нужно отложить, а сантиметры показывают длину каждой единицы. Сначала найдём расстояния от начала луча, чтобы понять, где поставить отметки.

1. Для A умножим координату на длину единичного отрезка: 3 × 2 = 6 см.
2. Для B так же найдём расстояние: 6 × 2 = 12 см.
3. Отметим начало луча, выберем направление и отложим единичный отрезок длиной 2 см. Поставим A через 3 единицы, а B через 6 единиц.

Ответ: A находится в 6 см, а B — в 12 см от начала луча.

Задача 3. Точка C находится на расстоянии 7 см от начала луча, единичный отрезок равен 2 см. Можно ли точно отметить C как точку с целой координатой? Чтобы ответить, переведём расстояние в количество единичных отрезков. Целая координата получится только тогда, когда это количество будет целым числом.

1. Разделим расстояние до C на длину единичного отрезка: 7 ÷ 2 = 3,5.
2. Число 3,5 не является целым: три единичных отрезка не доходят до C, а четыре проходят дальше.
3. Значит, точка находится между отметками 3 и 4, а не на отметке с целой координатой.

Ответ: нет, целой координаты у C не получится; её координата равна 3,5.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что единичный отрезок обязательно равен 1 см. Такое представление возникает из-за слова «единичный», но оно обозначает одну принятую единицу, а не сантиметр. Проверь условие: длина единичного отрезка может быть прямо указана, например 2 см. На чертеже единицей служит именно выбранный отрезок.

Ошибка: забывать, что координата зависит от единичного отрезка. Можно измерить расстояние линейкой и принять число сантиметров за координату, хотя масштаб на луче бывает другим. Проверь себя: раздели расстояние до точки на длину единичного отрезка. Полученное число, а не число сантиметров само по себе, задаёт координату.

Ошибка: откладывать единицы против направления луча. Так иногда делают, потому что смотрят на лист привычным образом и не проверяют стрелку. Найди начало и проследи направление луча: все координаты отмечай от начала именно в эту сторону. Если отметки уходят за начало, построение нужно исправить.

Ошибка: путать расстояние в сантиметрах с координатой. Расстояние измеряют, например, в сантиметрах, а координата считает единичные отрезки и может быть безразмерным числом. Путаница появляется, когда длина единицы случайно равна 1 см. Проверь вычислением: подели расстояние на длину единичного отрезка и подпиши сантиметры только у измерения длины.

Связь с другими темами

Перед работой с числовым лучом нужно уметь измерять отрезки, сравнивать их длины и откладывать отрезок заданной длины. Эти навыки помогают выбрать масштаб и правильно разделить луч на равные единицы. Если единичные отрезки получились неодинаковыми, координаты будут отмечены неверно.

Числовой луч помогает сравнивать натуральные числа и наглядно видеть их порядок: более удалённые по направлению луча точки соответствуют большим числам. Позднее этот способ представления станет основой координатной прямой и поможет изображать другие числа. Поэтому важно сначала уверенно определять начало, направление и масштаб.

Что запомнить

• Числовой луч имеет начало отсчёта и направление.
• Единичный отрезок задаёт масштаб числового луча.
• Координата точки показывает, сколько единичных отрезков от начала луча до неё.
• Координаты точек на луче отсчитывают от его начала в направлении луча.
• Чтобы построить точку по координате, нужно отложить соответствующее число единичных отрезков.
• Изменение единичного отрезка меняет координаты точек.