1.3. Натуральные числа и нуль. Запись и чтение чисел

Определения и обозначения

Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: один, два, три, четыре и так далее. Например, 5 яблок, 12 книг и 100 шагов обозначаются натуральными числами. Такие числа нужны, чтобы узнать и записать количество предметов.

Нуль обозначает отсутствие предметов или единиц данного разряда. Если в коробке нет карандашей, говорят, что карандашей 0. В школьной записи чисел нуль рассматривают вместе с натуральными числами и используют как цифру.

Цифра — это знак для записи числа. Всего используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Из этих знаков можно составить запись любого числа.

Десятичная запись числа — это запись с помощью десяти цифр. Значение цифры определяется не только её видом, но и местом в записи: 5 в числе 5 означает пять единиц, а в числе 500 — пять сотен. Поэтому при чтении и записи нужно учитывать каждый разряд.

Как это устроено

Числа возникают при счёте: каждому предмету по порядку сопоставляют число. Если пересчитать три книги, три кубика или три мяча, результат будет одним и тем же числом 3. Значит, число обозначает количество, а не внешний вид или название предметов.

Для записи чисел используют цифры, как из букв составляют слова. Одной цифрой можно записать небольшое число, а несколькими — большое, например 47 или 306. Одинаковая цифра может обозначать разные количества, потому что её место показывает, сколько единиц соответствующего порядка в числе.

Разряды считают справа налево. Первая позиция — единицы, вторая — десятки, третья — сотни, затем идут тысячи и следующие разряды. Каждый новый разряд в десять раз больше предыдущего: 1 десяток равен 10 единицам, 1 сотня — 10 десяткам.

Чтобы не запутаться в больших числах, разряды объединяют по три справа налево. Первые три образуют класс единиц, следующие три — класс тысяч, ещё следующие — класс миллионов. Внутри каждого класса есть единицы, десятки и сотни, поэтому запись становится удобнее для чтения.

Число читают слева направо, называя сначала старший класс, затем его число и название класса. После этого читают следующий класс и продолжают до класса единиц, название которого обычно не произносят. Если все цифры какого-либо класса равны нулю, этот класс пропускают, потому что он не добавляет количества.

Разряды и классы в записи числа

Чтобы определить разряд цифры, отсчитывай позиции от правого края числа. Чтобы определить класс, разделяй запись на группы по три цифры. Таблица помогает увидеть, какое количество обозначает цифра и к какой группе она относится.

Разбор задач

Задача 1. Записать цифрами число семьдесят два

Условие: нужно заменить словесную запись «семьдесят два» цифрами. Слово «семьдесят» называет семь десятков, а слово «два» — две единицы.

1. Записываем цифру 7 в разряде десятков.
2. Справа от неё записываем цифру 2 в разряде единиц.
3. Получаем запись 72 и проверяем её чтением: семь десятков и две единицы — семьдесят два.

Ответ: 72.

Задача 2. Прочитать число 508

Условие: нужно прочитать число 508. В нём три цифры, поэтому первая обозначает сотни, вторая — десятки, третья — единицы.

1. Цифра 5 стоит в разряде сотен, значит, это пятьсот.
2. Цифра 0 стоит в разряде десятков, поэтому десятков нет и слово «десятков» при чтении не добавляем.
3. Цифра 8 обозначает восемь единиц.

Ответ: пятьсот восемь. Нуль здесь нельзя убрать из записи: он показывает место десятков.

Задача 3. Записать цифрами число три миллиона сорок две тысячи семь

Условие: нужно записать большое число, разделив его на классы. В словах названы класс миллионов, класс тысяч и класс единиц.

1. Класс миллионов записываем как 3 000 000, потому что назван один миллионный класс.
2. «Сорок две тысячи» — это 42 тысячи, поэтому в классе тысяч ставим 042: нуль обозначает отсутствие сотен тысяч.
3. «Семь» записываем в классе единиц как 007, потому что отсутствуют сотни и десятки.
4. Соединяем классы: 3 | 042 | 007.

Ответ: 3 042 007. Проверка по чтению показывает: три миллиона, сорок две тысячи, семь.

Типичные ошибки

Цифру путают с числом. Цифра является одним знаком, а число может состоять из нескольких цифр, поэтому 25 — число, записанное цифрами 2 и 5. Проверь себя: посчитай, сколько знаков в записи, и не называй отдельную цифру всем числом.

Не учитывают место цифры. В записи 444 первая 4 означает сотни, вторая — десятки, третья — единицы. Ошибка появляется, если читать цифры по отдельности; проверяй каждую позицию справа налево.

Пропускают нули. В числе 507 нуль показывает отсутствие десятков, но сохраняет место между сотнями и единицами. Сверяй число по разрядам: если удалить нуль, получится уже другое число 57.

Неверно группируют цифры по классам. Группы нужно отделять справа налево по три цифры, а полностью нулевой класс не называют. Для проверки поставь разделители в записи и прочитай каждый ненулевой класс слева направо.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь считать предметы и знать названия чисел хотя бы в пределах первого десятка. Эти навыки помогают понять, что число обозначает количество, а цифры служат для его записи. Без них трудно правильно составлять и читать многозначные числа.

Разрядная запись понадобится при сравнении чисел: сначала сравнивают старшие разряды. Она также нужна при сложении и вычитании столбиком, а позже — при округлении чисел. Понимание места цифры помогает выполнять действия без ошибок.

Что запомнить

• Для записи чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
• Значение цифры зависит от её места в записи числа.
• Каждый следующий разряд слева в десять раз больше предыдущего.
• Разряды объединяют в классы по три, начиная справа.
• Нули сохраняют места разрядов, в которых нет единиц соответствующего порядка.
• При чтении числа сначала называют его классы слева направо.