1.2. Длина отрезка. Единицы измерения длины

Определения и обозначения

Длина отрезка — число, показывающее, сколько раз единичный отрезок укладывается в данном отрезке. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Такое определение помогает понять, что длина выражается числом не сама по себе, а по сравнению с выбранной меркой.

Единица длины — выбранная величина, которой измеряют длины отрезков. Миллиметр обозначают мм, сантиметр — см, дециметр — дм, метр — м, километр — км. Разные единицы удобны для разных предметов и расстояний: маленькие детали измеряют миллиметрами, а путь между городами — километрами.

Измерить отрезок — значит сравнить его длину с выбранной единицей и выразить результат числом. Например, если единичный отрезок укладывается в измеряемом отрезке 5 раз, длина равна 5 таким единицам. Измерение нужно, чтобы точно записывать длины и сравнивать их между собой.

Как это устроено

Чтобы сравнить длины отрезков, можно совместить их концы, если отрезки расположены удобно. Тогда видно, какой из них длиннее и насколько один выступает за другой. Если совместить отрезки нельзя, измерьте оба одной и той же единицей, потому что сравнивать числа можно только при одинаковых мерках.

Числовое значение длины зависит от выбранной единицы. Если измерять один и тот же отрезок сантиметрами, получится большее число, чем при измерении метрами, потому что сантиметр меньше метра. Значит, единица измерения должна быть указана рядом с числом: без неё запись длины неполная.

Линейка помогает измерять длину благодаря делениям — штрихам на шкале и промежуткам между ними. Расстояние между соседними штрихами соответствует той единице, которая указана на линейке. Начало отрезка совмещают с нулём, а отметку у второго конца читают как длину; если край линейки повреждён, используют разность показаний.

Иногда конец отрезка не совпадает с целым числом крупных делений. Тогда длину можно выразить в более мелких единицах, чтобы получить точное значение. Например, отрезок, который занимает 3 см и ещё 4 миллиметра, имеет длину 3 см 4 мм.

Единицы длины связаны между собой, поэтому одну и ту же длину можно записывать по-разному. При переходе от крупной единицы к мелкой число увеличивается: например, метры переводят в сантиметры умножением на 100. При переходе от мелкой единицы к крупной число уменьшается; перед вычислением проверьте соотношение единиц и направление перевода.

Единицы измерения длины и их соотношения

Пользуйтесь таблицей, чтобы выбрать подходящую единицу для предмета или расстояния. Для перевода сначала найдите нужное соотношение, а затем решите, нужно умножить или разделить число. Например, при переходе от метров к сантиметрам умножают на 100.

Разбор задач

Измерьте отрезок на рисунке линейкой и запишите его длину в сантиметрах.

Представим, что перед нами изображён отрезок, длину которого нужно определить линейкой. Важно начать отсчёт от нуля, а не просто приложить к отрезку край линейки. Тогда отметка у второго конца покажет длину непосредственно в сантиметрах.

1. Положите линейку вдоль отрезка так, чтобы отметка 0 совпала с его началом.
2. Посмотрите, напротив какого деления находится второй конец отрезка.
3. Запишите число и единицу длины, показанные шкалой.

Если второй конец находится, например, у отметки 6 см, длина отрезка равна 6 см. Проверить результат можно, ещё раз убедившись, что начало отрезка совпадает с нулём, а линейка лежит вдоль него. Ответ: длина отрезка равна показанию шкалы у его конца.

Выразите 4 м 7 см в сантиметрах.

В одной записи использованы метры и сантиметры, а ответ требуется дать только в сантиметрах. Поэтому сначала заменим метры равным количеством сантиметров. После этого к ним можно прибавить уже указанные сантиметры.

1. Вспомним соотношение: 1 м = 100 см.
2. Переведём 4 м в сантиметры: 4 × 100 = 400 см.
3. Прибавим оставшиеся 7 см: 400 + 7 = 407 см.

Ответ записан в одной единице, поэтому его легко использовать в дальнейших вычислениях. Проверить перевод можно по смыслу: четыре метра — это 400 сантиметров, а ещё 7 сантиметров дают число немного больше 400. Ответ: 407 см.

Длина одного отрезка равна 2 м 35 см, а другого — 248 см. На сколько сантиметров второй отрезок длиннее?

Чтобы найти разность, сначала нужно убедиться, что длины записаны в одинаковых единицах. Второй отрезок уже измерен в сантиметрах, поэтому переведём в сантиметры первый. Затем сравним полученные числа и вычтем меньшую длину из большей.

1. Переведём 2 м в сантиметры: 2 × 100 = 200 см.
2. Прибавим 35 см: 200 + 35 = 235 см — длина первого отрезка.
3. Сравним длины: 248 см больше 235 см.
4. Найдём разность: 248 − 235 = 13 см.

Полученная разность показывает, на сколько сантиметров второй отрезок длиннее первого. Проверка: если к длине первого отрезка прибавить 13 см, получится 248 см. Ответ: второй отрезок длиннее на 13 см.

Типичные ошибки

Ошибка — начинать отсчёт по линейке от её края, а не от нулевой отметки. Так поступают, если забывают, что край линейки может не совпадать с нулём. Проверьте положение начала отрезка; если оно стоит у другой отметки, вычтите её показание из показания у конца.

Некоторые считают штрихи, а не промежутки между ними. Это происходит потому, что штрихи заметнее, но длине соответствует расстояние между соседними отметками. Для проверки посчитайте именно промежутки: от первого штриха до второго — один промежуток.

При переводе метров в сантиметры иногда делят число на 100 вместо умножения. Ошибка возникает, если не проверить, какая единица мельче: в одном метре помещается 100 сантиметров. Значит, при переходе от метров к сантиметрам число должно увеличиться; например, 3 м = 300 см.

Нельзя складывать или сравнивать длины, записанные в разных единицах, не переводя их. Например, число 2 нельзя напрямую сравнить с числом 150, если первое означает метры, а второе — сантиметры. Приведите обе величины к одной единице и проверьте, что обозначения совпадают.

Связь с другими темами

Для работы с длинами нужно уметь сравнивать отрезки, пользоваться линейкой и выполнять действия с натуральными числами. Эти навыки пригодятся при вычислении периметра — суммы длин сторон фигуры. Единицы длины также используют в задачах на площадь, при решении практических задач и при работе с масштабом, который показывает соответствие расстояний на изображении реальным расстояниям.

Что запомнить

• Длина отрезка — положительное число, выраженное в выбранной единице.
• Результат измерения зависит от того, какую единицу длины выбрали.
• При измерении линейкой начало отрезка совмещают с нулём шкалы.
• 1 см = 10 мм.
• 1 дм = 10 см, а 1 м = 10 дм.
• 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м.
• Перед сложением или сравнением длин их приводят к одной единице.