1.1. Плоскость, прямая линия, луч, отрезок

Определения и обозначения

Плоскость — бесконечная ровная поверхность. На рисунке её обычно показывают как ограниченную часть, например в виде четырёхугольника, потому что весь лист или всю плоскость изобразить нельзя. Такое изображение помогает увидеть, где расположены точки и линии. Сама плоскость при этом мысленно продолжается за нарисованные края.

Прямая линия — линия без начала и конца, которая продолжается в обе стороны. Её обозначают двумя заглавными латинскими буквами, например AB, или одной строчной латинской буквой, например a. Буквы помогают назвать прямую и отличить её от других линий. Если прямая названа по точкам A и B, обе эти точки лежат на ней.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца: он продолжается в одну сторону. Луч обозначают двумя заглавными латинскими буквами, например AB. Первая буква указывает начало луча, а вторая — точку, через которую он проходит. Поэтому порядок букв помогает понять, в какую сторону направлен луч.

Отрезок — часть прямой между двумя точками, включая сами эти точки. Точки, которыми он ограничен, называются его концами. Отрезок обозначают буквами его концов, например AB. Это обозначение позволяет понять, какую именно часть прямой нужно рассматривать или измерять.

Как это устроено

Две различные точки задают прямую, потому что через них можно провести линию только одним способом, если она должна оставаться прямой. Попробуй приложить линейку так, чтобы её край проходил через обе точки: положение линейки будет единственным. Если бы прямых было несколько, они должны были бы расходиться, хотя обе проходят через те же точки. Поэтому по двум точкам можно однозначно назвать прямую.

Когда на прямой выбирают точку, она делит линию на две части. У каждой части эта точка становится общим началом, а сама часть продолжается от неё в одну сторону. Эти части называются лучами. Их два, потому что от точки на прямой можно двигаться либо в одну сторону, либо в противоположную.

Если на прямой отметить две точки, они выделят часть линии между собой. Эта часть ограничена точками, поэтому дальше них в отрезок не входят другие точки прямой. При этом сами отмеченные точки остаются частью отрезка: без них он не был бы ограничен именно этими концами. Так из бесконечной прямой получают конечную часть.

У прямой нет ни начала, ни конца, и она продолжается в обе стороны. У луча есть одно начало, а продолжение — только в одну сторону; у отрезка есть два конца, и он ограничен ими. Это различие удобно проверять мысленно: спроси себя, где объект начинается и где заканчивается. Так можно не спутать целую прямую с её частями.

На странице невозможно показать всю бесконечную прямую или луч: лист имеет края, а карандашная линия — конечную длину. Поэтому рисунок показывает только часть геометрического объекта. Если у прямой на чертеже видны края, это не означает, что она там заканчивается. По договорённости мысленно продолжают прямую в обе стороны, а луч — от начала в одну сторону.

Сравнение геометрических объектов

Сначала найди в таблице число концов: оно помогает отличить прямую, луч и отрезок. Затем проверь, как записывают название объекта, особенно порядок букв у луча. Для плоскости в школьных чертежах часто используют обозначение области или её название.

Разбор задач

На рисунке отмечены точки A и B. Назовите геометрический объект, который задают эти точки, если он продолжается в обе стороны.

1. Прочитаем условие: объект задан двумя точками A и B.
2. Сравним описание с определениями. Если объект продолжается в обе стороны и не имеет начала и конца, это прямая.
3. Две различные точки проходят через одну прямую, поэтому точки A и B задают прямую AB.

Ответ: прямая AB. Здесь важно не принять ограниченный след карандаша на рисунке за сам объект: линия изображена лишь частично.

На прямой отмечены точки A и B. Запишите обозначение луча с началом в A, проходящего через B, и луча с началом в B, проходящего через A.

1. Вспомним правило: у луча сначала записывают букву его начала.
2. Первый луч начинается в A и проходит через B, поэтому его обозначение — AB.
3. Второй начинается в B и проходит через A, значит, его обозначение — BA.
4. Проверим направления: начала разные, поэтому лучи направлены в противоположные стороны.

Ответ: луч AB и луч BA. Переставить буквы местами нельзя: это изменит начало луча.

Начертите прямую через точки A и B, отметьте на ней точку C между ними и назовите все отрезки, концами которых являются эти точки.

1. Проведём прямую через A и B; на рисунке она продолжается по обе стороны от точек.
2. Между A и B отметим точку C. Теперь на прямой есть три точки, причём C расположена между A и B.
3. Составим пары точек: A и B, A и C, C и B. Каждая пара задаёт отрезок.
4. Других пар из трёх отмеченных точек нет, поэтому список завершён.

Ответ: отрезки AB, AC и CB. Прямая через точки продолжается дальше, но названные отрезки ограничены выбранными концами.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что прямая заканчивается у края чертежа. Так думают, потому что на бумаге нарисована линия конечной длины. Проверь себя: если речь идёт о прямой, мысленно продолжи её за края рисунка в обе стороны. У неё нет конца, даже если изображение обрывается.

Ошибка: переставлять буквы в обозначении луча. Можно решить, что AB и BA — одно и то же, потому что используются те же точки. Проверь первую букву: она показывает начало, поэтому у AB начало в A, а у BA — в B. Эти лучи направлены по-разному.

Ошибка: путать луч с отрезком. Оба объекта изображают частью прямой, но у луча только одно начало, а отрезок ограничен двумя концами. Проверь себя вопросом: продолжается ли объект за конечную точку? Если продолжается в одну сторону, это луч; если есть два конца — отрезок.

Ошибка: не включать концы в отрезок. Иногда отрезком считают только промежуток между двумя ограничивающими точками. Но точки, задающие его концы, тоже принадлежат отрезку. Проверь обозначение: точки A и B одновременно называют отрезок AB и являются его концами.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическими объектами нужно уметь отмечать точки и называть их заглавными латинскими буквами. Точки показывают положения на плоскости и помогают задавать прямые, лучи и отрезки. Если две точки обозначены A и B, по их буквам можно назвать прямую или часть линии, которую они выделяют.

Понятие отрезка пригодится, когда вы будете измерять и сравнивать длины, а также строить геометрические фигуры. Умение различать прямую, луч и отрезок помогает верно понимать условие задачи и чертить нужный объект. Например, сторона многоугольника — это отрезок, а не бесконечная прямая.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Луч имеет начало и продолжается в одну сторону.
• Первая буква в обозначении луча указывает его начало.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Концы принадлежат отрезку.