"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Натуральные числа помогают считать предметы и упорядочивать их: первое, второе, третье и так далее. Для записи чисел используют десять цифр — от 0 до 9, а значение каждой цифры зависит от её места. Например, в числе 5386 цифра 5 обозначает пять тысяч, а цифра 3 — три сотни. Разрядная запись показывает, из каких частей состоит число, а числовой луч помогает сравнивать числа и видеть их порядок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3, 4 и так далее. С их помощью узнают, сколько предметов собрано, и устанавливают порядок при счёте. Например, натуральным числом можно обозначить число книг на полке.
Цифра — знак, с помощью которого записывают число; всего используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Число может состоять из одной цифры или нескольких. Цифры нужны, чтобы коротко записывать количества и различать числа.
Числовой луч — часть прямой с началом, на которой числа отмечают точками в порядке возрастания. Сначала отмечают начало отсчёта, затем выбирают единичный отрезок — расстояние, соответствующее одному шагу. Луч помогает представить порядок чисел и сравнить их по расположению.
Разряд числа — место цифры в записи, которое определяет её значение. Справа налево располагаются разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и далее. Разряды нужны, чтобы понимать состав числа: например, цифра 4 в записи 40 обозначает четыре десятка, а в записи 4 — четыре единицы.
Число записывают цифрами в определённом порядке, потому что место каждой цифры передаёт отдельную часть количества. Например, запись 32 означает три десятка и две единицы, а не просто набор цифр 3 и 2. При переходе на разряд левее значение цифры увеличивается в десять раз: единицы сменяются десятками, десятки — сотнями. Поэтому одна и та же цифра может обозначать разное количество в разных записях.
Чтобы разложить число на разрядные слагаемые, каждую цифру умножают на значение её разряда, а затем складывают полученные части. Так число 352 можно представить как 300 + 50 + 2. Нулевой разряд не даёт отдельного слагаемого, но в записи он может быть необходим, чтобы сохранить места других цифр. Обратное действие тоже возможно: если известны слагаемые, их складывают и записывают цифры по соответствующим разрядам.
На числовом луче каждому числу соответствует точка, а равные единичные отрезки помогают не перепутать расстояния между соседними числами. Двигаясь от начала вправо, мы каждый раз прибавляем единицу, поэтому числа располагаются по возрастанию. Например, точка числа 6 находится правее точки числа 4. Это наглядное правило позволяет понять, почему из двух чисел больше то, которое стоит правее.
Многозначные числа сравнивают, начиная со старшего разряда, потому что он показывает самую крупную часть числа. Сначала проверяют количество цифр: число с большим количеством цифр больше числа с меньшим количеством. Если цифр поровну, сравнивают их слева направо — сначала тысячи или сотни тысяч, затем следующий разряд. Как только встречаются разные цифры, число с большей цифрой в этом разряде оказывается больше; разряды правее уже не меняют результат.
Счёт предметов даёт количество, цифры позволяют записать его, а числовой луч показывает место этого количества среди других. Например, посчитав семь карандашей, можно записать число 7 и отметить его точкой на луче. При счёте следующего предмета количество увеличится на единицу, а точка переместится на один шаг вправо. Так счёт, запись и положение на луче описывают один порядок чисел разными способами.
| Понятие или действие | Что показывает | Пример |
|---|---|---|
| Цифра | Знак для записи числа | В числе 27 используются цифры 2 и 7 |
| Число | Количество или место при счёте | 27 предметов |
| Разряд цифры | Какое значение имеет цифра в записи | В числе 5386 цифра 8 обозначает 80 |
| Разложение на разрядные слагаемые | Состав числа по разрядам | 5386 = 5000 + 300 + 80 + 6 |
| Сравнение многозначных чисел | Какое число больше или меньше | 47 305 < 47 350 |
| Положение числа на числовом луче | Порядок чисел и их относительное положение | Точка 8 правее точки 5 |
Сначала найди в таблице нужное понятие или действие, затем прочитай, что оно показывает. Пример помогает проверить, правильно ли ты понял правило. При разложении числа обрати внимание на разряд каждой цифры, а при сравнении — на порядок проверки разрядов.
В условии названы разряды числа и количество единиц в каждом из них. Запись нужно составить так, чтобы цифры заняли свои места: тысячи, сотни, десятки, единицы. Даже если в каком-то разряде нет единиц, это место нельзя оставлять пустым, иначе изменятся значения цифр справа и слева.
Ответ: 4207.
Чтобы увидеть состав числа, определим место каждой цифры, считая справа налево. Первая справа цифра показывает единицы, следующая — десятки, затем идут сотни и тысячи. Каждую цифру заменим количеством единиц её разряда, а затем сложим полученные значения.
Ответ: 5386 = 5000 + 300 + 80 + 6; значения цифр: 5 — 5000, 3 — 300, 8 — 80, 6 — 6.
Сравнение начнём слева, поскольку старшие разряды определяют большую часть числа. Первые две цифры у записей совпадают: в обоих числах 4 десятка тысяч и 7 тысяч. Затем сравним сотни: в первом числе стоит 3, и во втором тоже 3; только после этого проверим десятки.
Ответ: 47 305 < 47 350; на числовом луче 47 305 расположено левее, а 47 350 — правее.
Путать цифру и число. Цифру принимают за количество, потому что оба слова встречаются рядом при записи. Проверь себя: цифра — знак, а число выражает количество или место при счёте; например, число 25 записано двумя цифрами.
Считать, что цифра всегда имеет одно значение. Это происходит, если смотреть только на сам знак и не учитывать его место. Назови разряд и значение цифры: в 47 цифра 4 обозначает 40, а в 407 — 400.
Пропускать ноль внутри числа. Ноль считают лишним, хотя он показывает отсутствие единиц в разряде и сохраняет позиции соседних цифр. Для проверки прочитай число по разрядам: 4207 — это четыре тысячи, две сотни и семь единиц, а 427 имеет другой состав.
Сравнивать справа налево или только по последним цифрам. Последние цифры могут подсказать неверный результат, если старшие разряды различаются. Сравни количество цифр, а затем иди слева направо до первого различия; цифры после него уже не нужны.
Для работы с натуральными числами сначала нужно уметь пересчитывать предметы и знать порядок чисел. Представление о десятках, сотнях и других разрядных группах помогает понимать, почему место цифры меняет её значение. Запись и сравнение чисел понадобятся при выполнении арифметических действий и округлении. Они также помогают выбирать данные и проверять ответы в текстовых задачах.
Чем число отличается от цифры?
Цифра — это знак, которым записывают числа: например, 4 или 8. Число выражает количество или место предмета при счёте; его можно записать одной цифрой или несколькими.
Почему в записи числа иногда нельзя пропустить ноль?
Ноль показывает, что в определённом разряде нет единиц. Если убрать его из середины числа, цифры сдвинутся и число изменится: 4207 и 427 — разные числа.
Как узнать значение цифры в многозначном числе?
Нужно определить, в каком разряде стоит цифра: единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Например, в числе 5386 цифра 3 стоит в разряде сотен и обозначает 300.
Как сравнить два числа, если у них совпадают первые цифры?
Сравнивай записи слева направо и найди первый разряд, в котором цифры различаются. Число с большей цифрой в этом разряде будет больше.
Почему на числовом луче число правее считается большим?
На числовом луче числа располагаются в порядке возрастания: при движении вправо к началу отсчёта прибавляются единичные отрезки. Поэтому точка правее соответствует большему числу.
Раздел I. Числа
