29. Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — это установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равняется другому. Например, сравнив 4 и 7, получаем, что 4 меньше 7. Сравнение помогает упорядочивать числа и выбирать правильную запись в задаче.

Неравенство — запись сравнения с помощью знаков > или <. В записи 8 > 3 раскрытая сторона знака обращена к большему числу, а острый конец — к меньшему; ту же мысль можно записать как 3 < 8. Такие обозначения позволяют коротко записывать результат сравнения.

На координатной прямой числа правее заданного числа больше него, а числа левее — меньше. Например, точка 2 расположена правее точки −1, значит, 2 > −1. Это правило удобно для проверки сравнений, особенно когда числа отрицательные.

Как это устроено

Каждому числу на координатной прямой соответствует точка, а направление вправо показывает увеличение чисел. Поэтому, двигаясь вправо, мы переходим от меньших значений к большим. Чем правее точка, тем больше число, которое она обозначает.

Нуль находится между отрицательными числами слева и положительными справа. Все положительные числа расположены правее нуля, поэтому любое из них больше нуля. Все отрицательные числа левее нуля, значит, нуль больше любого отрицательного числа.

У отрицательного числа знак показывает, что оно находится слева от нуля, а модуль — расстояние до нуля. Например, −3 отстоит от нуля на 3 единицы, а −8 — на 8. Число −3 расположено правее −8, поэтому оно больше, хотя его модуль меньше.

Если числа имеют разные знаки, положительное число всегда правее отрицательного, так что оно больше. Для чисел одного знака порядок зависит от их положения на прямой: положительные сравнивают обычным способом, а у отрицательных большему модулю соответствует меньшее число. Например, 6 > 2, но −6 < −2.

Результат записывают знаком > или <, раскрывая его к большему числу. Так, если установили, что −4 меньше 1, записывают −4 < 1. Чтобы получить противоположную запись, числа меняют местами и меняют знак: из −4 < 1 следует 1 > −4.

Как сравнивать числа

Таблица подсказывает, с чего начать сравнение в зависимости от того, какие числа даны. Найдите подходящую строку и примените правило к своим числам. В примерах знак поставлен так, чтобы его раскрытая сторона была обращена к большему числу.

Разбор задач

Сравните −3 и 2.

У чисел разные знаки: −3 отрицательное, а 2 положительное. Положительное число расположено правее нуля, а отрицательное — левее, поэтому 2 больше −3. Проверим результат по положению точек на координатной прямой.

1. Отметим на прямой числа −3 и 2.
2. Увидим, что 2 находится правее −3.
3. Запишем числа слева направо: −3 < 2.

Ответ: −3 < 2.

Сравните −4 и −7.

Оба числа отрицательные, поэтому нельзя решить задачу, сравнив только цифры 4 и 7: направление сравнения для отрицательных чисел обратное. Модуль числа −4 равен 4, а модуль −7 равен 7. Число с меньшим модулем ближе к нулю и расположено правее.

1. Сравним модули: 4 < 7.
2. Так как оба числа отрицательные, число с меньшим модулем будет больше.
3. Запишем результат: −4 > −7.

Ответ: −4 > −7.

Расположите числа −2,5; 0; −3; 1,5; −1 в порядке возрастания.

Порядок возрастания — это расположение от меньшего числа к большему, то есть слева направо на координатной прямой. Сначала упорядочим отрицательные числа: среди них дальше от нуля расположено меньшее число. После отрицательных чисел поставим нуль, затем положительное число.

1. Сравним отрицательные числа по модулю: 3 > 2,5 > 1.
2. Учтём обратный порядок для отрицательных: −3 < −2,5 < −1.
3. Добавим нуль и положительное число: −3 < −2,5 < −1 < 0 < 1,5.

Ответ: −3; −2,5; −1; 0; 1,5.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что число с большим модулем всегда больше. Так часто рассуждают по привычке, сравнивая расстояния до нуля и забывая о знаке. Для отрицательных чисел порядок обратный: например, −8 < −5; проверить это можно по их расположению на прямой.

Нельзя сравнивать отрицательные числа только по цифрам, не замечая минус. Например, из того, что 8 больше 5, не следует, что −8 больше −5: точка −8 находится левее. Отметьте числа на прямой или сравните модули с учётом обратного порядка.

Нуль иногда ошибочно называют положительным или отрицательным, потому что он стоит рядом с числами обоих видов. Но нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам: он служит границей между ними. Проверка проста: у положительных чисел значение больше нуля, у отрицательных — меньше.

Ещё одна ошибка — повернуть знак неравенства не в ту сторону. Её допускают, если смотрят на форму знака, но забывают, какое число больше. Подставьте числа на координатную прямую: большее должно быть правее, а раскрытая сторона знака должна смотреть на него.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел пригодится умение отмечать их на координатной прямой и различать положительные и отрицательные числа. Без этих навыков трудно понять, почему точка правее означает больше и почему у отрицательных чисел порядок устроен иначе. Позже сравнение поможет работать с модулем числа, выполнять действия с рациональными числами и решать неравенства.

Что запомнить

• На координатной прямой больше то число, которое расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля.
• Нуль больше любого отрицательного числа.
• Любое положительное число больше любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
• Знак > раскрывается к большему числу, знак < — к меньшему.