§ 1. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла. Их записывают так: a ⟂ b, то есть прямая a перпендикулярна прямой b. Чтобы определить перпендикулярность, нужно проверить, что прямые пересекаются под углом 90°. Это отличает перпендикулярные прямые от любых других пересекающихся прямых.

Перпендикуляр — отрезок прямой, проведённый из заданной точки к данной прямой под прямым углом. Прямой угол равен 90°, поэтому отрезок должен встретить прямую именно под таким углом. Простыми словами, перпендикуляр соединяет точку с прямой и «входит» в неё без наклона в сторону. Это понятие используют, когда нужно построить от точки к прямой отрезок под прямым углом.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает данную прямую. Например, если из точки M проведён перпендикуляр к прямой a, основанием будет точка H на прямой a. Сам перпендикуляр — отрезок MH, а основание — только его конец H. Различать их нужно, чтобы точно называть элементы чертежа.

Прямой угол — угол величиной 90°. Именно такой угол нужен, чтобы определить, являются ли прямые перпендикулярными и правильно ли проведён перпендикуляр. На чертеже прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком в его вершине. Такая отметка помогает увидеть нужный угол, даже если рисунок выполнен не совсем точно.

Как это устроено

Если при пересечении двух прямых один угол прямой, то и остальные три тоже прямые. Смежный с ним угол вместе с ним образует развёрнутый угол, поэтому их сумма равна 180°: 180° − 90° = 90°. Вертикальные углы равны, значит, угол напротив первого также равен 90°, а второй вертикальный угол равен своему соседу. Поэтому для проверки перпендикулярности достаточно найти один прямой угол.

Запись a ⟂ b сообщает, что прямые a и b пересекаются под прямым углом. Символ ⟂ означает именно перпендикулярность, а буквы называют прямые. Точка пересечения в такой записи не указана: её отдельно обозначают на чертеже, например буквой O. Чтобы понять, где прямые пересекаются, нужно посмотреть на их изображение или на дополнительное условие задачи.

Если заданная точка лежит на прямой, к ней можно приложить угольник так, чтобы один его край совпал с прямой, а второй проходил через точку. Второй край угольника образует с первым угол 90°, поэтому по нему проводят перпендикуляр. Линию продолжают в нужную сторону и отмечают прямой угол. Угольник удобен тем, что уже имеет угол в 90°, и его не приходится измерять отдельно.

Если точка M не лежит на прямой, поставь угольник одним краем на прямую, а другой совмести с M. Проведи по краю линию от точки до прямой; точка их встречи станет основанием перпендикуляра. Построение можно выполнить и циркулем с линейкой: проведи из M дугу, которая пересечёт прямую в точках A и B, затем построй перпендикуляр к отрезку AB через его середину. Точка M равноудалена от A и B, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к AB, который проходит через основание искомого перпендикуляра.

Через одну точку к данной прямой можно провести только один перпендикуляр. Причина в том, что в заданной точке направление, образующее с прямой угол 90°, единственно: другое направление даст уже не прямой угол. Это можно проверить угольником, приложив его к прямой и точке. Если провести линию по другому краю, она не образует с прямой угол 90°.

Перпендикулярные прямые и перпендикуляр

Сначала определи, что дано: две прямые, отрезок из точки или основание. Затем найди на чертеже отметку прямого угла и проверь, к какому объекту она относится. Обозначения буквами помогают не перепутать отрезок с точкой его конца.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке две прямые пересекаются, и один из углов равен 90°. Определи, перпендикулярны ли прямые, и назови остальные углы.

1. Обозначим данный угол α. По условию α = 90°.
2. Смежный с α угол β образует с ним развёрнутый угол, поэтому β = 180° − 90° = 90°.
3. Вертикальный α угол γ равен α, значит, γ = 90°. Четвёртый угол δ вертикален β, поэтому δ = 90°.
4. Все четыре угла прямые, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны; остальные три угла равны 90°.

Задача 2. Даны прямая a и точка M вне неё. Построй перпендикуляр из M к a и обозначь его основание.

1. Приложи один край угольника к прямой a, а другой совмести с точкой M.
2. Проведи по краю линию от M до прямой a. Она образует с a прямой угол.
3. Назови точку пересечения H. Тогда отрезок MH — перпендикуляр, а H — его основание.
4. Проверь построение по угольнику: угол между MH и a должен быть равен 90°.

Ответ: построен перпендикуляр MH к прямой a; основание — точка H.

Задача 3. Прямые a и b перпендикулярны. Лучи образуют с прямой a углы 35° и 55°. Найди углы между этими лучами и прямой b.

1. Так как a ⟂ b, угол между ними равен 90°.
2. Рассмотрим луч, который образует с a угол 35°. Внутри прямого угла между a и b остаётся угол 90° − 35° = 55°.
3. Для луча, образующего с a угол 55°, внутри того же прямого угла остаётся 90° − 55° = 35°.
4. Проверка: части прямого угла складываются до 90° в обоих случаях.

Ответ: соответствующие углы с прямой b равны 55° и 35°.

Типичные ошибки

Ошибка: называть перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Так происходит, если ученик обращает внимание только на пересечение и не проверяет величину угла. Проверь, равен ли хотя бы один из углов 90°; без этого перпендикулярность не доказана. Например, прямые, образующие угол 60°, пересекаются, но не являются перпендикулярными.

Ошибка: считать перпендикуляром любой отрезок от точки к прямой. Отрезок может попасть на прямую наклонно, а тогда угол не будет прямым. Приложи угольник к месту пересечения или проверь отметку прямого угла. Если угол не равен 90°, это не перпендикуляр.

Ошибка: путать перпендикуляр с его основанием. Перпендикуляр — отрезок, а основание — точка на прямой, где он заканчивается. Путаница возникает, потому что оба объекта обозначают рядом на чертеже. Чтобы проверить себя, назови отдельно отрезок и отдельно точку пересечения, например MH и H.

Ошибка: проводить из одной точки несколько перпендикуляров к одной прямой. Иногда кажется, что под прямым углом можно провести несколько наклонённых в разные стороны линий. Но направление перпендикуляра к данной прямой через заданную точку единственно. Проверь каждый вариант угольником: прямой угол даст только один перпендикуляр.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь распознавать прямой угол, знать, что такое смежные и вертикальные углы, и понимать, где пересекаются прямые. При построении пригодится угольник. Эти знания позволяют не только чертить перпендикуляры, но и обосновывать, почему прямые образуют угол 90°.

Перпендикуляры понадобятся при построении высот треугольника и нахождении расстояния от точки до прямой. Высота треугольника проводится из вершины перпендикулярно противоположной стороне или её продолжению. В координатной плоскости прямые углы помогают различать направления осей и строить фигуры.

В практике прямые углы используют в чертежах, архитектуре, строительстве и измерениях. Перпендикулярность помогает задавать точное положение стен, деталей и опор. Умение строить её угольником делает рисунки и разметку аккуратнее.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Обозначение перпендикулярности: a ⟂ b.
• Если один угол при пересечении прямых прямой, то все четыре угла прямые.
• Перпендикуляр из точки к прямой образует с ней угол 90°.
• Точка пересечения перпендикуляра с прямой называется основанием перпендикуляра.
• Через заданную точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой.