"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Она утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону, если известны две другие, а также вычисляют расстояния, высоты и диагонали. Главное — правильно определить прямой угол, катеты и гипотенузу, записать формулу и проверить, подходит ли полученный ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, один угол которого равен 90°. Такой угол называют прямым, и именно его наличие позволяет применять теорему Пифагора. На чертеже прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком.
Катеты — стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол; обычно их обозначают a и b. Они соединяют вершину прямого угла с двумя другими вершинами. Чтобы не перепутать катеты, найдите сначала прямой угол: обе стороны, прилегающие к нему, и будут катетами.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла; её обозначают c. Она не касается вершины прямого угла и является самой длинной стороной треугольника. Это обозначение помогает сразу выбрать правильную сторону в формуле.
Теорема Пифагора — утверждение о связи длин катетов и гипотенузы: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Записывают это так: c² = a² + b². Теорема нужна, чтобы по двум известным сторонам найти третью.
Катеты и гипотенуза выделяют не случайно: их положение связано с прямым углом. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами, а сторона напротив него — гипотенузой. Поэтому по рисунку сначала ищут угол 90°, затем определяют две прилегающие к нему стороны и оставшуюся сторону.
На каждой стороне треугольника можно построить квадрат, сторона которого равна этой стороне. Площадь такого квадрата равна квадрату длины стороны: на катетах получаются площади a² и b², а на гипотенузе — c². Теорема говорит, что квадрат на гипотенузе по площади равен двум квадратам на катетах вместе, поэтому c² = a² + b².
Из равенства площадей получается основная формула теоремы Пифагора: c² = a² + b². Если известны a и b, сначала находят сумму их квадратов, а затем извлекают квадратный корень: c = √(a² + b²). Корень нужен потому, что в равенстве сначала найден квадрат длины гипотенузы, а не сама длина.
Когда требуется найти катет, его квадрат отделяют от другого слагаемого. Например, из c² = a² + b² получаем a² = c² − b², а затем a = √(c² − b²). Теорема применима только при наличии прямого угла, и подкоренное выражение должно быть неотрицательным. После вычислений проверьте, что катет меньше гипотенузы и что подстановка результата возвращает исходное равенство.
В таблице буквы a и b обозначают катеты, а c — гипотенузу. Выберите строку по известным данным и подставьте числа в соответствующую формулу. Перед применением убедитесь, что треугольник прямоугольный.
| Что известно | Что найти | Формула | Условие применения |
|---|---|---|---|
| Катеты a и b | Гипотенузу c | c = √(a² + b²) | Треугольник прямоугольный |
| Гипотенуза c и катет b | Катет a | a = √(c² − b²) | c > b, треугольник прямоугольный |
| Гипотенуза c и катет a | Катет b | b = √(c² − a²) | c > a, треугольник прямоугольный |
| Все три стороны | Проверить, является ли треугольник прямоугольным | c² = a² + b² | c — самая длинная сторона |
В условии уже сказано, что треугольник прямоугольный, поэтому стороны 3 см и 4 см являются катетами. Требуется найти гипотенузу c. Используем формулу для гипотенузы, потому что известны оба катета.
Ответ: гипотенуза равна 5 см. Она получилась больше каждого катета, значит результат согласуется со свойством гипотенузы.
Известны гипотенуза c = 13 см и катет a = 5 см, а найти нужно второй катет b. Квадрат неизвестного катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета. Поэтому используем формулу b = √(c² − a²).
Ответ: второй катет равен 12 см. Проверка даёт 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².
Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник: стена и земля перпендикулярны. Лестница длиной 10 м лежит напротив прямого угла, значит это гипотенуза, а расстояние 6 м от стены — один катет. Высота, на которой находится верхний конец лестницы, является вторым катетом.
Ответ: верхний конец лестницы находится на высоте 8 м. Полученная высота меньше длины лестницы, поэтому ответ разумен.
Гипотенузой называют любую самую длинную сторону. Так делают потому, что гипотенуза действительно длиннее катетов, но одного этого признака недостаточно для объяснения. Проверьте, лежит ли выбранная сторона напротив прямого угла.
Возводят в квадрат только одну сторону или складывают длины. Ошибка возникает, когда запись a² + b² заменяют на a + b или забывают степень у одного слагаемого. Запишите формулу целиком и отдельно вычислите a² и b².
Формулу применяют к произвольному треугольнику. Внешне похожий треугольник ещё не обязательно прямоугольный, поэтому равенство c² = a² + b² может не работать. Сначала найдите угол 90° или проверьте стороны по этой формуле.
Оставляют результат c² или a². Квадрат стороны — промежуточный результат, а задача спрашивает длину стороны. После вычислений подкоренного выражения обязательно извлеките квадратный корень и укажите единицу длины.
Для изучения теоремы нужны знания о видах треугольников, прямом угле, обозначениях сторон, степенях и квадратных корнях. Эти умения помогают правильно выбрать формулу и выполнить вычисления без лишних действий.
Теорема Пифагора используется при нахождении расстояний, высот и диагоналей. Позже она пригодится в координатах, геометрических построениях и задачах на подобные фигуры, где нужно связывать размеры отрезков.
Как быстро определить гипотенузу на рисунке?
Сначала найдите прямой угол, то есть угол 90°. Гипотенуза находится напротив него; одновременно это самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
Почему в формуле складывают именно квадраты катетов?
Квадрат длины стороны можно представить как площадь квадрата, построенного на этой стороне. Теорема утверждает, что площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах, поэтому складываются именно квадраты.
Можно ли применить теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику?
Нет, обычная формула c² = a² + b² относится только к прямоугольному треугольнику. В непрямоугольном треугольнике прямого угла нет, поэтому эта формула не выполняется.
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Из формулы c² = a² + b² вычитают квадрат известного катета. Например, a = √(c² − b²), затем вычисляют значение под корнем и извлекают квадратный корень.
Как проверить, что вычисленная длина стороны получилась разумной?
Гипотенуза должна быть больше каждого катета, а длина катета — положительной. Можно подставить найденное значение обратно в формулу и проверить равенство, а в конце не забыть указать единицу длины.
§ 2. Теорема Пифагора
