6.3. Сравнение целых чисел

Определения и обозначения

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль. Например, 1, 2 и 3 — натуральные числа, а −1, −2 и −3 — противоположные им. Вместе с нулём они образуют целые числа. Это понятие нужно, чтобы учитывать не только числа больше нуля, но и числа меньше нуля.

Противоположные числа отличаются только знаками и находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Например, 5 и −5 — противоположные числа: одно положительное, другое отрицательное, а расстояние от каждого до нуля равно пяти единицам. Такие числа удобно узнавать по одинаковым цифрам и разным знакам. Понимание этой пары помогает ориентироваться на числовой оси.

Сравнить целые числа — значит определить, какое из них больше, какое меньше или равны ли они. Результат сравнения записывают с помощью знаков >, < или =. Например, 4 > 1 означает, что четыре больше одного, а −2 = −2 — что числа равны. Сравнение нужно, чтобы упорядочивать числа и выбирать верную запись.

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой оси. Он не бывает отрицательным: например, модуль числа −6 равен 6, а модуль числа 6 тоже равен 6. Запись |−6| читают «модуль минус шесть». Модуль особенно пригодится, когда нужно сравнить два отрицательных числа.

Как это устроено

Целые числа можно расположить на числовой оси — прямой, на которой отмечены числа и направление их увеличения. Нуль ставят в центре выбранного участка, положительные числа размещают справа от него, а отрицательные — слева. Каждое следующее целое число отстоит от соседнего на одинаковый шаг. Поэтому положение числа на оси показывает, как оно связано с нулём и другими числами.

На числовой оси больше то число, которое расположено правее. Это связано с направлением увеличения чисел: при движении слева направо значения возрастают. Например, 2 расположено правее −1, поэтому 2 > −1. Так можно проверить сравнение даже тогда, когда трудно сразу применить правило.

Если сравнивают числа с разными знаками, положительное число всегда больше отрицательного: оно находится справа от нуля, а отрицательное — слева. Нуль тоже больше любого отрицательного числа, потому что расположен правее всех чисел, меньших нуля. При этом нуль не считают ни положительным, ни отрицательным числом. Значит, среди чисел −4, 0 и 4 порядок такой: −4 < 0 < 4.

Два отрицательных числа сравнивают по их модулям, но порядок получается обратным. Чем больше модуль отрицательного числа, тем дальше это число от нуля влево, а значит, тем оно меньше. Например, модуль числа −7 больше модуля −3, поэтому −7 < −3. И наоборот, −3 больше −7, потому что оно расположено правее и ближе к нулю.

Знак > читают «больше», знак < — «меньше», а знак = означает равенство чисел. У знаков > и < раскрытая сторона обращена к большему числу, а остриё — к меньшему: например, 8 > 2 и −6 < −1. Проверить запись можно, представив числа на оси: если слева записано число, расположенное правее числа справа, нужен знак >. Для равных чисел ставят =.

Правила сравнения целых чисел

Найди строку, которая подходит к сравниваемым числам, и прочитай правило. Пример в последнем столбце показывает, как применить его на практике. Если числа отрицательные, сначала обрати внимание на модули и не забудь поменять порядок сравнения на обратный.

Разбор задач

Сравните −3 и 2.

1. Определяем знаки чисел: −3 — отрицательное, а 2 — положительное. Это числа разных знаков, поэтому сравнивать их модули не нужно. На числовой оси отрицательное число находится слева от нуля, а положительное — справа.
2. Положительное число всегда больше отрицательного, значит, 2 больше −3. Записываем сравнение так, чтобы слева стояло меньшее число, а знак был направлен раскрытой стороной к большему. Получаем −3 < 2.

Ответ: −3 < 2.

Сравните −8 и −5.

1. Оба числа отрицательные, поэтому сравним их модули: |−8| = 8, а |−5| = 5. Число 8 больше числа 5, но для отрицательных чисел это не означает, что −8 больше −5. На оси −8 расположено дальше от нуля влево.
2. У отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Поскольку 5 < 8, число −5 больше −8. Запись сравнения: −8 < −5.

Ответ: −8 < −5.

Расположите числа −4, 0, 3, −1 и 2 в порядке убывания.

1. Порядок убывания означает, что каждое следующее число меньше предыдущего. Положительные числа 3 и 2 больше нуля и отрицательных чисел, причём 3 > 2. Поэтому первыми запишем 3, затем 2.
2. После положительных чисел поставим нуль: он больше отрицательных. Остались −1 и −4; у −1 модуль меньше, значит, −1 > −4. Итак, от большего числа к меньшему получаем 3, 2, 0, −1, −4.

Ответ: 3, 2, 0, −1, −4.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −8 больше −5, потому что 8 больше 5. Так происходит, если сравнивать только цифры и забыть, что отрицательные числа находятся слева от нуля. У отрицательных чисел больший модуль означает меньшее число. Проверь себя по оси: −8 левее −5, значит, −8 < −5.

Ошибка: относить нуль к отрицательным числам. Нуль находится между отрицательными и положительными числами, но не относится ни к одной из этих групп. Его иногда путают с отрицательными числами, потому что он не больше положительных. Проверь себя: любое отрицательное число меньше нуля, а любое положительное — больше него.

Ошибка: сравнить отрицательное и положительное только по знаку, а два отрицательных числа — тоже только по знаку. Знак сразу помогает сравнить числа разных знаков, но у двух отрицательных знак одинаковый и нужно сравнить модули в обратном порядке. Проверь себя, определив, какое из чисел ближе к нулю: именно оно будет больше. Например, −2 > −6.

Ошибка: перепутать знаки > и < или повернуть знак к большему числу остриём. Это случается, если не прочитать запись словами и не проверить расположение чисел. Раскрытая сторона знака всегда обращена к большему числу, а остриё — к меньшему. Проверь запись на числовой оси или прочитай её слева направо: −1 < 3 означает «минус один меньше трёх».

Связь с другими темами

Перед сравнением полезно знать, какие числа называются целыми, что такое противоположные числа и как находить модуль. Эти знания объясняют, где число расположено относительно нуля и как сравнить два отрицательных числа. Числовая ось помогает увидеть порядок чисел и проверить полученный ответ.

Сравнение целых чисел используют, когда нужно расположить числа по возрастанию или убыванию. Оно также пригодится при решении уравнений и неравенств, где нужно выяснить, какие числа подходят. Умение сравнивать помогает выбирать верный знак и проверять, не противоречит ли ответ расположению чисел на оси.

Что запомнить

• На числовой оси больше число, расположенное правее.
• Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
• Нуль больше любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
• Равные числа обозначают знаком =.
• Знак > раскрытой стороной обращён к большему числу.