"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Модуль целого числа — это расстояние от него до нуля на числовой прямой. Его записывают с помощью вертикальных черт: |a|. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда больше или равен нулю. У положительного числа модуль равен самому числу, у отрицательного — противоположному ему числу, а модуль нуля равен нулю. Это понятие помогает сравнивать удалённость чисел от нуля и находить числа с заданным расстоянием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль целого числа a обозначают |a| и определяют как расстояние от числа a до нуля на числовой прямой. Вертикальные черты показывают, что рассматривается именно расстояние, а не знак числа. Например, |−3| — это расстояние от точки −3 до нуля. Такое обозначение удобно, когда нужно говорить об удалённости числа от нуля.
Если целое число a положительно, его модуль равен самому числу: |a| = a. Положительное число находится справа от нуля, поэтому расстояние до него совпадает с его координатой. Например, |6| = 6. Это правило позволяет сразу находить модуль числа без дополнительных вычислений.
Если целое число a отрицательно, его модуль равен противоположному числу: |a| = −a. Противоположное число имеет такой же размер, но противоположный знак, поэтому полученное значение положительно. Например, для a = −8 получаем |−8| = 8. Это правило помогает не путать отрицательное положение числа на прямой с величиной расстояния.
Модуль нуля равен нулю: |0| = 0. Нулевая точка находится от себя на расстоянии ноль, поэтому здесь нет ни положительного, ни отрицательного значения. Это правило дополняет два предыдущих случая и позволяет определить модуль любого целого числа. В результате модуль всегда неотрицателен.
На числовой прямой модуль удобно представлять как длину отрезка от нуля до выбранной точки. Чтобы найти |−4|, отметь точку −4 и посчитай единичные отрезки до нуля: их четыре. Направление влево показывает, что число отрицательное, но длина отрезка от направления не зависит. Поэтому модуль равен 4, а не −4.
Модуль любого целого числа неотрицателен, потому что он измеряет расстояние. Если точка находится левее нуля, её координата отрицательна, однако длина пути до неё всё равно положительна. Если точка совпадает с нулём, расстояние равно нулю. Так геометрический смысл сразу объясняет, почему невозможно получить отрицательный модуль.
Противоположные числа имеют одинаковые модули, потому что их точки расположены симметрично относительно нуля. Например, точки −5 и 5 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, хотя одна расположена слева, а другая справа. Знак координаты меняется, но длина отрезка остаётся прежней. Поэтому |5| = |−5| = 5.
Правило по случаям получается прямо из расположения точки на прямой. Для положительного a расстояние до нуля совпадает с координатой, значит |a| = a. Для отрицательного a нужно взять противоположное число, чтобы расстояние стало неотрицательным, значит |a| = −a; отдельно рассматривается ноль, чей модуль равен нулю. Это не три разных определения, а способы применить один смысл — расстояние до нуля.
Если модули целых чисел равны, числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля. На числовой прямой на таком расстоянии могут быть две точки: одна справа, другая слева. Поэтому числа либо совпадают, либо являются противоположными: из |a| = |b| следует b = a или b = −a. Если одно из чисел равно нулю, оба варианта приводят к нулю.
| Случай или свойство | Запись | Объяснение |
|---|---|---|
| Положительное целое число a | |a| = a | Число находится справа от нуля |
| Отрицательное целое число a | |a| = −a | Модуль равен расстоянию до нуля |
| Нуль | |0| = 0 | Расстояние от нуля до нуля равно нулю |
| Неотрицательность | |a| ≥ 0 | Модуль является расстоянием |
| Противоположные числа | |a| = |−a| | Они равноудалены от нуля |
Сначала определи, какой случай подходит: положительное число, отрицательное или ноль. Затем примени соответствующее правило и проверь, что результат не меньше нуля. Строки о свойствах помогают понять, почему противоположные числа могут иметь одинаковый модуль.
Здесь нужно применить определение модуля и учесть знак каждого числа. Число −7 расположено слева от нуля, а число 5 — справа. В обоих случаях ответом будет расстояние, поэтому он не может быть отрицательным.
Ответ: |−7| = 7, |5| = 5.
Нельзя сравнивать числа −8 и 6 вместо их модулей: нужно сначала узнать расстояние каждого числа до нуля. После этого задача сведётся к сравнению обычных положительных чисел. Такой порядок действий помогает не перепутать знак исходного числа и значение модуля.
Ответ: |−8| > |6|.
Равенство означает, что точка x должна находиться от нуля на расстоянии 4. От нуля можно отложить четыре единичных отрезка вправо или влево. Поэтому нужно проверить оба направления, а не только положительную сторону прямой.
Ответ: x = 4 или x = −4.
Ошибка: записывать |−a| = −a, не проверяя знак a. Такая запись верна, если a положительно, но при отрицательном a выражение −a уже отрицательно, а модуль не может быть отрицательным. Проверь себя: подставь конкретное число, например a = −3, и сравни |−a| = |3| с −a = 3; для проверки общего правила важно помнить, что знак a имеет значение. Надёжнее сначала определить знак самого числа внутри черт.
Ошибка: считать, что модуль отрицательного числа остаётся отрицательным. Обычно это происходит из-за того, что знак числа переносят на его расстояние до нуля. Но расстояние не направлено влево или вправо и не бывает отрицательным. Для проверки отметь число на прямой и посчитай единичные отрезки до нуля.
Ошибка: делать вывод, что из равенства модулей следует равенство самих чисел. Например, |−6| = |6|, хотя −6 и 6 — разные числа. Так думают, если забывают о двух сторонах числовой прямой. Проверь, не являются ли числа противоположными: они тоже находятся на одинаковом расстоянии от нуля.
Ошибка: при решении |x| = a записывать только x = a. Если a положительно, точек на расстоянии a обычно две: справа и слева от нуля. Поэтому нужно записать x = a и x = −a, а затем проверить оба числа подстановкой. При a = 0 оба варианта дают одно и то же решение x = 0.
Для работы с модулем нужно уметь отмечать целые числа на числовой прямой и находить число, противоположное данному. Эти навыки помогают увидеть, с какой стороны от нуля расположена точка и на каком расстоянии она находится. Например, противоположное числу 7 — это −7, а их модули равны.
Модуль пригодится, когда нужно сравнить, какое из чисел дальше от нуля. Позже похожая идея поможет находить расстояние между двумя точками числовой прямой, даже если они расположены по разные стороны от нуля. В таком сравнении важна длина промежутка, а не направление движения.
Понятие модуля целого числа станет основой для работы с рациональными и действительными числами. Смысл останется тем же: модуль будет показывать расстояние от числа до нуля, а значит, не будет отрицательным. Сначала важно уверенно применять правила для целых чисел.
Может ли модуль числа быть отрицательным?
Нет, модуль не бывает отрицательным, потому что он показывает расстояние от числа до нуля. Расстояние всегда положительно или равно нулю.
Почему модуль отрицательного числа положителен?
Отрицательное число расположено слева от нуля, но расстояние до него считают не со знаком, а как величину. Поэтому модуль числа −6 равен 6.
Чем модуль числа отличается от самого числа?
Само число может быть отрицательным, положительным или нулём, а его модуль показывает только расстояние до нуля. Например, −4 — число, а |−4| = 4 — расстояние.
Могут ли разные числа иметь одинаковый модуль?
Да. Например, числа 3 и −3 находятся на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому их модули равны 3.
Сколько целых чисел удовлетворяют равенству |x| = 5?
Два целых числа: 5 и −5. Оба находятся от нуля на расстоянии 5.
6.2. Модуль целого числа
