6.1. Целые отрицательные числа

Определения и обозначения

Отрицательное число — это число, которое меньше нуля. Записи −1, −2, −3 читают «минус один», «минус два», «минус три»: знак «−» перед числом показывает, что оно находится ниже нуля. Такие обозначения нужны, чтобы различать величины по разные стороны от нулевого значения.

Целое отрицательное число — отрицательное число без дробной части. Например, −4 и −12 — целые отрицательные числа, а −2,5 — отрицательное, но не целое, потому что в нём есть дробная часть. Это различие помогает правильно называть числа и выбирать, какие из них относятся к целым.

Нуль — число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. На числовой прямой он находится между отрицательными числами слева и положительными справа. Нуль служит точкой отсчёта: относительно него определяют, в какую сторону и на какое расстояние расположено число.

Противоположные числа отличаются только знаком и находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Например, 5 и −5 образуют такую пару, как и −3 и 3. Эти пары нужны, когда величины равны по размеру, но направлены в разные стороны.

Как это устроено

Отрицательные числа нужны, когда величина оказывается меньше выбранного нуля. Например, нуль градусов можно принять за границу замерзания воды, а температуру ниже неё записать со знаком минус: −3 °C. Так же обозначают долг, который нужно вернуть, или точку ниже уровня моря. Во всех случаях знак показывает не просто размер величины, а её положение относительно принятого нуля.

Чтобы расположить целые числа, проводят координатную прямую и отмечают на ней нуль. Единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами; положительное направление выбирают вправо. Тогда числа со знаком минус откладывают влево от нуля, потому что они находятся по другую сторону от него. Например, −3 будет на три единичных отрезка левее нуля.

Порядок чисел на прямой связан с их положением: число правее другого больше. Поэтому −2 больше −5, хотя 2 меньше 5: точка −2 ближе к нулю и расположена правее точки −5. Можно представить это как движение от нуля влево: чем дальше ушли, тем меньше стало число. Значит, сравнивая отрицательные числа, нужно учитывать не только цифры, но и знак.

Число и противоположное ему расположены симметрично относительно нуля. Например, точка 4 находится на четыре единичных отрезка справа, а точка −4 — на четыре отрезка слева. Расстояния до нуля одинаковы, а координаты отличаются знаком. Поэтому противоположным числу 4 будет −4, а противоположным числу −4 — 4.

Запись −6 читают «минус шесть»: здесь знак перед цифрой указывает на отрицательное число. В записи 8 − 6 знак между числами обозначает действие вычитания. Различить эти случаи помогает положение знака: перед одним числом он задаёт его знак, а между двумя числами показывает, что из первого нужно вычесть второе. Важно не смешивать обозначение числа и действие с числами.

Целые числа и их положение относительно нуля

Пользуйтесь таблицей, чтобы сначала определить знак числа, а затем его положение относительно нуля. Для сравнения отрицательных чисел представьте их точки на прямой: правее расположено большее число. В паре противоположных чисел проверьте, что расстояния от нуля равны.

Разбор задач

Задача 1. Запишите целые отрицательные числа, соответствующие температурам на 3, 7 и 1 градус ниже нуля. Слова «ниже нуля» подсказывают, что каждое значение меньше нуля, поэтому перед числом градусов нужен знак минус. Дробной части в этих значениях нет, значит, получатся целые отрицательные числа.

1. Определяем величину отклонения от нуля: 3, 7 и 1 градус.
2. Для каждого значения ставим знак минус, так как температура ниже нуля.
3. Получаем записи −3, −7 и −1.

Ответ: −3 °C, −7 °C и −1 °C.

Задача 2. Изобразите на координатной прямой числа −4, 0 и 3 и назовите число, расположенное левее всех. Сначала нужно понять, где будет начало отсчёта, затем выбрать одинаковый шаг для соседних целых чисел. Положительные числа отмечают справа от нуля, а отрицательные — слева.

1. Отмечаем на прямой нуль и выбираем единичный отрезок.
2. От нуля откладываем четыре таких отрезка влево и ставим точку −4.
3. От нуля откладываем три отрезка вправо и ставим точку 3.
4. Сравниваем положение точек: −4 левее нуля и числа 3.

Ответ: левее всех расположено число −4.

Задача 3. Сравните −8 и −5, а затем укажите число, противоположное −8. Нельзя решать сравнение только по цифрам 8 и 5: знак минус меняет привычное расположение чисел. Представим точки на прямой и отдельно применим правило для противоположных чисел.

1. Отмечаем −8 и −5 слева от нуля: −8 находится дальше влево.
2. Точка −5 расположена правее, поэтому −5 больше, чем −8.
3. Для противоположного числа оставляем расстояние 8 единиц, но переносим точку на другую сторону от нуля.

Ответ: −8 < −5; число, противоположное −8, — 8.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −8 больше −5, потому что 8 больше 5. Так делают, если сравнивают только цифры, не учитывая знак минус. На прямой −8 находится левее −5, поэтому меньше; проверьте себя, спросив, какое число ближе к нулю.

Ошибка: называть нуль отрицательным числом. Нуль стоит рядом с отрицательными числами, поэтому их иногда ошибочно объединяют в одну группу. Но он не имеет знака плюс или минус и не относится ни к положительным, ни к отрицательным; это можно проверить его отдельным положением между группами на прямой.

Ошибка: принимать минус в записи −6 за действие вычитания. Путаница возникает потому, что похожий знак встречается и между числами, например в записи 9 − 6. Проверьте, стоит ли знак перед одним числом или между двумя: в первом случае он показывает отрицательное число, во втором — действие.

Ошибка: считать −2,5 целым отрицательным числом. Число отрицательное, но у него есть дробная часть, поэтому оно не целое. Чтобы проверить себя, посмотрите на запись: целые числа не содержат частей вроде десятых или сотых.

Связь с другими темами

Для работы с отрицательными числами пригодятся навыки счёта и сравнения натуральных чисел, а также умение понимать координатную прямую и координату точки. Координата показывает положение точки относительно начала отсчёта, а знак помогает определить сторону от нуля. Позже отрицательные числа понадобятся при изучении координатной плоскости и действий с целыми числами. Они также помогают описывать изменения температуры, высоты и долга.

Что запомнить

• Отрицательное число меньше нуля.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Целое отрицательное число не имеет дробной части.
• На координатной прямой отрицательные числа расположены левее нуля.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.
• Противоположные числа равноудалены от нуля и отличаются знаками.