Раздел III. Положительные и отрицательные числа

Определения и обозначения

Положительное число — число, которое больше нуля. Перед ним можно поставить знак «+», но обычно его не пишут: записи +6 и 6 обозначают одно число. Положительные числа используют, когда нужно указать значение выше выбранного нуля, например температуру +4 °C. На координатной прямой такие числа отмечают справа от нуля.

Отрицательное число — число, которое меньше нуля. Перед ним обязательно ставят знак «−»: например, −2, −15 или −½. Знак помогает отличить число ниже нуля от такого же по величине числа выше нуля: −3 и 3 — разные числа. Отрицательные числа нужны, чтобы записывать значения по другую сторону от условного нуля, например мороз или долг.

Противоположные числа отличаются только знаками: например, 5 и −5, ½ и −½. Одно из них положительное, другое отрицательное, а расстояние от каждого до нуля одинаково. Если сложить противоположные числа, получится ноль: 5 + (−5) = 0. Это понятие помогает описывать равные по величине, но направленные в разные стороны изменения.

Координатная прямая — прямая, на которой отмечены начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Начало отсчёта — это точка 0, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Обычно положительное направление показывают стрелкой вправо. Число изображают точкой: от нуля отсчитывают нужное количество единиц вправо или влево и подписывают полученную точку.

Как это устроено

Отрицательные числа понадобились, потому что не все величины удобно описывать только числами от нуля и выше. Например, ноль на термометре может быть условной границей: температура −6 °C означает шесть градусов ниже неё. Так же можно записать долг: если у человека нет денег, ноль обозначает отсутствие долга и накоплений, а −200 рублей — долг в 200 рублей. Отрицательное значение показывает не просто размер величины, но и то, что она оказалась по другую сторону выбранного нуля.

На координатной прямой числа располагают в порядке возрастания. Положительное направление выбирают вправо, поэтому числа, которые больше нуля, идут от нуля направо. Числа меньше нуля должны находиться в обратную сторону — слева: движение от −4 к −3 означает увеличение числа, хотя обе отметки остаются левее нуля. Так расположение отражает порядок чисел, а не направление движения человека или изменение величины.

Сравнивать числа на прямой можно без сложных вычислений: из двух чисел больше то, которое расположено правее. Поэтому 2 больше −3, поскольку 2 находится справа от нуля, а −3 — слева. Для двух отрицательных чисел это правило тоже работает: −1 правее −5, значит, −1 > −5. Если поставить числа на прямую, можно проверить сравнение и не перепутать порядок.

Противоположные числа находятся по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии. Например, точки −4 и 4 отстоят от нуля на четыре единичных отрезка, но одна расположена слева, а другая справа. Поэтому числа противоположны, хотя одно меньше нуля, а другое больше. Равное расстояние объясняет, почему их сумма равна нулю: движение на четыре единицы в одну сторону и на четыре в обратную возвращает к началу отсчёта.

Положительные, отрицательные числа и ноль

В таблице удобно проверять знак числа и его положение относительно нуля. Чтобы сравнить два числа, сначала найди их расположение на прямой: правое число больше. Помни, что ноль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте на координатной прямой числа −3, 0 и 2. Нужно расположить числа относительно начала отсчёта, поэтому сначала отметим ноль и выберем одинаковое расстояние между соседними целыми числами. Отрицательное число окажется слева, а положительное — справа. Отсчёт ведём от нуля, а не от края прямой.

1. Отметим на прямой точку 0 и выберем единичный отрезок.
2. От нуля отсчитаем три единицы влево и поставим точку −3.
3. От нуля отсчитаем две единицы вправо и поставим точку 2.

Ответ: слева от нуля находится −3, в начале отсчёта — 0, справа — 2.

Задача 2. Сравните числа −4 и −1, а также −2 и 3. Чтобы не ошибиться со знаками, представим оба случая на одной координатной прямой. Среди отрицательных чисел правее расположено то, которое ближе к нулю. Положительное число 3 находится справа от обоих отрицательных чисел.

1. На прямой −1 находится правее −4, поэтому −4 < −1.
2. Число 3 расположено справа от −2, поэтому −2 < 3.

Ответ: −4 < −1; −2 < 3. Сравнение проверено по положению чисел, а не по цифрам без учёта знака.

Задача 3. Температура была −5 °C, затем изменилась на 8 градусов в сторону потепления. Начальную температуру записываем как отрицательное число, потому что она ниже нуля. Потепление на 8 градусов означает увеличение температуры на 8, поэтому к начальному значению прибавляем 8. Нужно выяснить, перешла ли температура через ноль.

1. Запишем начальную температуру: −5 °C.
2. Добавим 8 градусов потепления: −5 + 8 = 3.
3. Поскольку результат положительный, новая температура выше нуля.

Ответ: начальная температура равна −5 °C, новая — 3 °C; она окажется по положительную сторону от нуля.

Типичные ошибки

Ноль иногда называют положительным или отрицательным числом, потому что его ставят между двумя группами чисел. Но положительное число должно быть больше нуля, а отрицательное — меньше него; ноль равен самому себе. Проверь себя: подходит ли к нулю условие «больше нуля» или «меньше нуля»? Ни одно не подходит, поэтому ноль не относят ни к одной группе.

Можно решить, что число с большим модулем всегда больше. Модуль — это расстояние от числа до нуля, но при сравнении отрицательных чисел важен ещё и знак: −7 находится левее −2, значит, −7 < −2. Такая ошибка возникает, когда сравнивают только числа 7 и 2. Проверка простая: представь оба числа на прямой и найди, какое расположено правее.

При расположении отрицательных чисел иногда меняют порядок сравнения: думают, что −5 больше −3, потому что 5 больше 3. На прямой −5 находится левее −3, поэтому он меньше. Ошибку помогает заметить правило: правое число всегда больше левого, в том числе среди отрицательных. Отметь числа на прямой, если сравнение вызывает сомнение.

Знак числа путают с направлением изменения величины. Например, отрицательная температура сама по себе не означает, что температура сейчас понижается: она лишь показывает, что значение ниже нуля. Потепление может начинаться при −5 °C и вести к положительной температуре. Чтобы проверить себя, отдельно запиши исходное значение и отдельно — направление изменения.

Связь с другими темами

Для работы с новой темой нужно уметь сравнивать натуральные числа и дроби, а также понимать порядок чисел на числовом луче. Координатная прямая расширяет знакомый числовой луч: на ней появляются числа слева от нуля. Отрицательные числа пригодятся при изучении координат и действий с рациональными числами, а также в задачах о температурах, высотах и долгах. Противоположные числа подготовят к изучению модуля числа и уравнений.

Что запомнить

• Положительные числа больше нуля.
• Отрицательные числа меньше нуля.
• Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• На координатной прямой положительные числа расположены справа от нуля, отрицательные — слева.
• Из двух чисел больше то, которое расположено правее.
• Противоположные числа равноудалены от нуля и имеют разные знаки.