9.2. Сравнение целых чисел

Определения и обозначения

Целые числа — это отрицательные числа, ноль и положительные числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Они не имеют дробной части. Это множество нужно, чтобы записывать, например, долги, температуры ниже нуля и изменения величин.

Положительное целое число — это целое число, которое больше нуля: 1, 2, 10 и другие. На координатной прямой такие числа находятся справа от нуля. Понимание этого помогает сразу сравнить положительное число с нулём и отрицательным числом.

Отрицательное целое число — это целое число, которое меньше нуля: −1, −2, −10 и другие. На координатной прямой они расположены слева от нуля. Знак «−» показывает, что число находится по другую сторону от нуля.

Противоположные числа отличаются только знаками, например 5 и −5. Они равноудалены от нуля, поэтому имеют одинаковые модули, а их сумма равна нулю: 5 + (−5) = 0. Такие числа удобно узнавать и сравнивать по их положительности и отрицательности.

Как это устроено

Целые числа можно отметить на координатной прямой. Чем правее находится точка, тем больше соответствующее число, потому что при движении вправо значения увеличиваются на единицу. Поэтому любое число слева меньше любого числа справа.

Положительное целое число больше нуля, так как оно расположено справа от нулевой точки. Отрицательное число меньше нуля, потому что находится слева от неё. Например, 4 > 0, а −4 < 0.

Положительное число всегда больше отрицательного: положительное находится справа от нуля, а отрицательное — слева. Это правило не зависит от расстояния до нуля. Например, 2 > −100, хотя модуль числа −100 намного больше модуля числа 2.

Если оба числа положительные, больше число с большим модулем: 8 > 3. Если оба числа отрицательные, порядок меняется на обратный: −3 > −8. Причина в расположении точек: −3 ближе к нулю и находится правее, чем −8.

Противоположные числа имеют одинаковый модуль, но разные знаки. Из такой пары положительное число больше отрицательного, поскольку оно расположено справа от нуля. Например, 6 > −6, а −6 + 6 = 0.

Правила сравнения целых чисел

Найдите в таблице нужный вид чисел и примените соответствующее правило. Если числа отрицательные, не забывайте, что меньший модуль означает большее число. Координатная прямая помогает проверить результат.

Разбор задач

Сравнить −3 и 2

Нужно определить, какое из двух целых чисел больше. Числа имеют разные знаки, поэтому достаточно воспользоваться правилом для положительного и отрицательного числа. Не нужно сравнивать их модули.

1. Число −3 отрицательное, а число 2 положительное.
2. Любое отрицательное число меньше любого положительного.
3. Записываем результат: −3 < 2.

Ответ: −3 < 2.

Сравнить −5 и −2

Оба числа отрицательные, поэтому сравнивать их как положительные нельзя. Сначала найдём модули: |−5| = 5, |−2| = 2. У отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

1. Сравним модули: 5 > 2.
2. Так как числа отрицательные, порядок изменится на обратный.
3. Получаем: −5 < −2.

Ответ: −5 < −2.

Расположить числа −4, 3, 0, −1, 2 в порядке возрастания

Порядок возрастания означает расположение от меньшего числа к большему. Удобно представить все числа на координатной прямой и читать их слева направо. Сначала идут отрицательные числа, затем ноль, после него — положительные.

1. Среди отрицательных чисел левее находится −4, затем −1.
2. После отрицательных чисел идёт 0, затем положительные числа 2 и 3.
3. Записываем ряд: −4, −1, 0, 2, 3.

Ответ: −4, −1, 0, 2, 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −5 больше −2, потому что 5 больше 2. Так происходит, если забыть о знаке «−». Проверьте себя на прямой: −5 левее −2, значит, −5 < −2.

Ошибка: называть ноль положительным или отрицательным числом. Ноль не имеет ни одного из этих знаков и занимает отдельное положение. Проверьте запись: положительные числа больше нуля, отрицательные меньше нуля, а 0 не удовлетворяет ни одному условию.

Ошибка: сравнивать положительное и отрицательное число только по модулям. Например, из сравнения модулей 2 и 100 нельзя заключить, что 2 < −100. Сначала определите знаки: любое положительное число больше любого отрицательного.

Ошибка: путать знаки < и >. Острие знака направлено к меньшему числу, а широкая сторона — к большему. Можно прочитать запись словами: −4 < 1 означает «−4 меньше 1».

Связь с другими темами

До сравнения целых чисел нужно знать координатную прямую, сами целые числа и модуль числа. Координатная прямая показывает порядок, а модуль помогает сравнивать числа с одинаковыми знаками. Эти понятия служат основой для дальнейших правил.

Сравнение нужно при упорядочивании чисел и решении неравенств. С его помощью выбирают большее или меньшее значение и проверяют, подходит ли число условию. Например, запись x > −2 задаёт все целые числа правее −2.

Тема связана с действиями над целыми числами и сравнением рациональных чисел. Те же идеи о знаках и расположении на координатной прямой применяются к дробям и десятичным числам. Поэтому эти правила пригодятся при изучении более широких множеств чисел.

Что запомнить

• На координатной прямой правее расположено большее число.
• Любое положительное целое число больше нуля.
• Любое отрицательное целое число меньше нуля.
• Любое положительное число больше любого отрицательного.
• Из двух положительных чисел больше число с большим модулем.
• Из двух отрицательных чисел больше число с меньшим модулем.
• Противоположные числа равны по модулю, а больше из них положительное.