9.1. Какие числа называют целыми

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которыми пользуются при счёте: 1, 2, 3, … В принятом здесь определении нуль к натуральным числам не относят. Эти числа удобны, когда нужно посчитать предметы, но для описания некоторых ситуаций их недостаточно.

Число, противоположное натуральному, имеет такой же модуль, но противоположный знак: например, числу 5 противоположно −5. Модуль — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Такое понятие помогает записывать значения по разные стороны от нуля, сохраняя одинаковое расстояние до него.

Нуль — число, которое не является ни положительным, ни отрицательным; оно противоположно самому себе. Поэтому нуль не нужно относить ни к числам со знаком плюс, ни к числам со знаком минус. Он служит границей между положительными и отрицательными числами.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль. Например, к целым относятся 6, −6 и 0, а множество всех целых чисел обозначают ℤ. Это множество объединяет числа для счёта, числа меньше нуля и саму границу между ними.

Как это устроено

Натуральными числами можно посчитать яблоки или записать температуру выше нуля, но ими не получится выразить температуру ниже нуля. Они также не подходят для обозначения долга: долг в 5 рублей удобно записать как −5 рублей. Поэтому для описания таких ситуаций числовой ряд расширяют, добавляя отрицательные числа.

Каждому натуральному числу сопоставляют отрицательное с тем же модулем: 3 и −3, 10 и −10. На координатной прямой модуль показывает, сколько единичных отрезков отделяет число от нуля. У чисел пары это расстояние одинаковое, потому что их значения отличаются только направлением: одно находится справа от нуля, другое — слева.

Нуль не относят к положительным или отрицательным числам, потому что он не расположен ни выше, ни ниже самого себя. На координатной прямой он занимает точку, от которой отсчитывают расстояния вправо и влево. Поэтому нуль разделяет положительные числа справа и отрицательные слева, оставаясь отдельной частью множества целых чисел.

В множество целых чисел входят три части: положительные целые числа, отрицательные целые числа и нуль. Положительные целые — это 1, 2, 3, …; отрицательные — −1, −2, −3, …; между ними находится 0. Буква ℤ обозначает все эти числа вместе, а не только числа со знаком минус.

На координатной прямой соседние целые числа отстоят друг от друга на один единичный отрезок. Например, точки −4 и 4 находятся в четырёх единицах от нуля, но по разные стороны. Это расположение позволяет увидеть противоположность чисел: они равноудалены от начала отсчёта и имеют разные знаки.

Числа, входящие в множество целых чисел

Чтобы определить часть множества, сначала проверь, есть ли у числа дробная часть, а затем посмотри на его знак. Положительные числа будут справа от нуля, отрицательные — слева, а нуль занимает отдельное место между ними. Все три части вместе образуют множество целых чисел.

Разбор задач

Какие числа целые?

Определите, какие из чисел −8, 0, 4, 2,5 являются целыми. Сначала вспомним, что целыми считаются числа без дробной части, включая отрицательные числа и нуль. Поэтому знак числа не решает задачу сам по себе: нужно проверить и его запись.

1. Число −8 отрицательное, но дробной части у него нет, значит, оно целое.
2. Число 0 тоже является целым, хотя оно не положительное и не отрицательное.
3. Число 4 — положительное целое, а у числа 2,5 есть дробная часть.

Ответ: целые числа — −8, 0 и 4. Число 2,5 целым не является, потому что находится между целыми числами 2 и 3.

Целые числа между −3 и 2

Запишите целые числа, расположенные между −3 и 2, и отметьте их на координатной прямой. Слово «между» означает, что сами граничные числа в ответ не входят. Двигаясь по прямой от −3 к 2, нужно перечислять целые числа по порядку.

1. После −3 на прямой идёт −2, затем −1 и 0.
2. Дальше располагается 1, а следующим числом будет 2.
3. Останавливаемся перед 2, поскольку граница промежутка не включается.

Ответ: −2, −1, 0, 1. На координатной прямой отметьте эти точки между −3 и 2; каждая соседняя точка целого числа отстоит от следующей на один единичный отрезок.

Изменение температуры

Утром температура была −6 °C, а днём стала 2 °C. На сколько градусов изменилась температура? На прямой −6 находится слева от нуля, а 2 — справа. Чтобы найти изменение, нужно определить расстояние между этими отметками, а не складывать значения без учёта их расположения.

1. От −6 до нуля — 6 градусов: это расстояние от отрицательной температуры до нуля.
2. От нуля до 2 — ещё 2 градуса, потому что дневная температура выше нуля.
3. Складываем расстояния: 6 + 2 = 8.

Ответ: температура повысилась на 8 °C. Такой способ наглядно показывает, почему при переходе через нуль расстояния до него складываются.

Типичные ошибки

Ошибка: считать нуль натуральным числом. Так думают, потому что нуль часто встречается при записи количества или в десятичной записи числа. В принятом здесь определении натуральный ряд начинается с единицы; проверь себя, выписав его начало: 1, 2, 3, …

Ошибка: считать нуль положительным или отрицательным. Нуль располагается между числами со знаком минус и со знаком плюс, поэтому легко принять его за одну из групп. Но положительные числа больше нуля, а отрицательные меньше; сам нуль не удовлетворяет ни одному условию.

Ошибка: называть противоположные числа равными. Например, −4 и 4 имеют одинаковый модуль, и из-за этого их иногда путают. Однако это разные числа: одно меньше нуля, другое больше; проверка по координатной прямой покажет их расположение по разные стороны от нуля.

Ошибка: считать целым любое число со знаком, например −2,5. Знак показывает, по какую сторону от нуля находится число, но не говорит, есть ли у него дробная часть. Чтобы проверить себя, посмотри на запись: −2,5 находится между −2 и −3, поэтому целым не является.

Связь с другими темами

Для понимания целых чисел пригодятся знания о натуральных числах, нуле и координатной прямой. Натуральные числа дают положительную часть множества, а координатная прямая помогает увидеть отрицательные числа и расстояния от нуля. Дальше целые числа будут нужны при изучении действий с положительными и отрицательными числами. Они также помогают решать задачи о температурах, высотах и долгах.

Что запомнить

• Целые числа включают положительные целые, отрицательные целые и нуль.
• Множество целых чисел обозначают буквой ℤ.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Противоположные числа имеют одинаковый модуль и разные знаки.
• На координатной прямой противоположные числа равноудалены от нуля.
• Между соседними целыми числами нет других целых чисел.