"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны, а ромб — четыре равные стороны. Их особые свойства помогают находить углы и длины без измерений: углы при основании равнобедренного треугольника равны, его медиана к основанию становится высотой и биссектрисой, а диагонали ромба перпендикулярны, делятся пополам и делят углы пополам. Эти факты нужны для решения задач и доказательств.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Например, если AB = AC, то боковые стороны — AB и AC, а основание — BC.
Углы, прилежащие к основанию, называют углами при основании. Угол, образованный двумя боковыми сторонами, называют углом при вершине. Такое разделение помогает понять, какие углы равны и где проводить нужную медиану.
Ромб — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. Поэтому у ромба сохраняются свойства параллелограмма, но появляются дополнительные свойства из-за равенства всех сторон.
Диагональ ромба — отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. У четырёхугольника ABCD диагонали — AC и BD; их точку пересечения часто обозначают буквой O.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, потому что боковые стороны равны и вершины у основания занимают симметричные положения. Если мысленно отразить такой треугольник относительно линии, проходящей от вершины к середине основания, он совместится сам с собой. Поэтому соответствующие углы совпадут. То же можно доказать, сравнив два треугольника, полученных после проведения медианы.
Медиана к основанию одновременно становится высотой и биссектрисой. Пусть медиана из вершины A попадает в точку M основания BC, причём AB = AC и BM = MC. Треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам: AB = AC, BM = MC, AM — общая сторона. Значит, углы AMB и AMC равны, а вместе составляют 180°, поэтому каждый равен 90°; углы BAM и MAC также равны.
Есть и обратное свойство: если два угла треугольника равны, то равны противоположные им стороны. Например, если ∠B = ∠C, то сторона AC, лежащая напротив ∠B, равна стороне AB, лежащей напротив ∠C. Значит, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC. Это позволяет распознать вид треугольника по углам.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Первое свойство диагоналей пополам есть у любого параллелограмма. Чтобы получить перпендикулярность, сравним треугольники по разные стороны одной диагонали: равенство сторон ромба и общая часть дают равные углы при пересечении. Эти смежные углы в сумме дают 180°, поэтому каждый равен 90°.
Каждая диагональ ромба делит пополам углы при своих концах. Например, диагональ AC образует треугольники ABC и ADC. У них равны AB и AD, BC и CD, а AC — общая сторона, поэтому треугольники равны по трём сторонам. Соответствующие углы BAC и CAD, а также BCA и ACD равны, значит, AC является биссектрисой двух углов.
| Фигура или элемент | Свойство | Что из этого следует |
|---|---|---|
| Углы при основании равнобедренного треугольника | Равны между собой | Если известен один угол при основании, второй равен ему; по двум равным углам можно доказать равенство боковых сторон |
| Медиана к основанию равнобедренного треугольника | Одновременно является высотой и биссектрисой | Она перпендикулярна основанию и делит угол при вершине пополам |
| Равные углы треугольника и противоположные им стороны | Против равных углов лежат равные стороны | По двум равным углам можно распознать равнобедренный треугольник |
| Диагонали ромба | Перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам | Угол между диагоналями равен 90°, а половины одной диагонали равны |
| Диагональ ромба и углы при её концах | Диагональ делит эти углы пополам | Угол между диагональю и стороной равен половине угла ромба |
Сначала определите, какая фигура или часть фигуры дана в условии. Затем выберите строку с подходящим свойством и примените его к известным углам, сторонам или отрезкам.
Таблица особенно полезна при составлении краткой записи и проверке решения: найденное равенство должно соответствовать указанному свойству.
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Нужно найти углы при основании. Обозначим каждый угол при основании буквой x, так как они равны.
Ответ: каждый угол при основании равен 70°.
В равнобедренном треугольнике ABC проведена медиана AM к основанию BC. Докажем, что AM является высотой и биссектрисой. Из определения медианы BM = MC, а по условию AB = AC.
Ответ: AM — высота, потому что AM перпендикулярна BC, и биссектриса, потому что ∠BAM = ∠MAC.
Диагонали ромба ABCD пересекаются в O, угол между ними равен 90°, угол A равен 68°, а диагональ AC равна 10 см. Найдём всё, что определяется однозначно. Пусть AC — известная диагональ.
Ответ: AO = OC = 5 см, углы ромба равны 68°, 112°, 68°, 112°; другая диагональ и сторона выражаются как BD = 10 · tg 34° и AB = 5 / cos 34°. Без использования тригонометрии их численные значения найти нельзя.
Ошибка: считать, что у равнобедренного треугольника равны все углы. Равны только углы при основании, а угол при вершине может быть другим; все три равны лишь у равностороннего треугольника. Проверьте себя суммой углов и сравните, какой угол лежит между боковыми сторонами.
Ошибка: путать основание и боковые стороны. Равными являются две боковые стороны, а основание — третья сторона, соединяющая их концы. Чтобы не ошибиться, сначала найдите вершину, из которой выходят равные стороны.
Ошибка: считать любую медиану одновременно высотой и биссектрисой. Такое совпадение верно только для медианы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника. Проверьте, делит ли медиана именно основание на две равные части.
Ошибка: переносить свойства диагоналей ромба на любой параллелограмм. У параллелограмма диагонали делятся пополам, но не обязаны быть перпендикулярными или делить углы пополам. Перед применением свойства убедитесь, что все стороны фигуры равны.
Для решения задач нужны сумма углов треугольника, определения медианы, высоты и биссектрисы. Также используется равенство треугольников, позволяющее обосновывать равенство углов и отрезков.
Ромб является параллелограммом, поэтому его свойства опираются на параллельность противоположных сторон и деление диагоналей пополам. Равенство всех сторон добавляет перпендикулярность диагоналей и деление углов пополам.
Эти знания пригодятся при доказательстве геометрических утверждений, нахождении углов и длин. Позже они помогут изучать признаки и свойства других четырёхугольников.
Почему в равнобедренном треугольнике углы при основании равны?
Если провести медиану к основанию, треугольник разделится на два равных треугольника. Поэтому соответствующие углы при основании равны.
Какая медиана равнобедренного треугольника одновременно является высотой и биссектрисой?
Это медиана, проведённая к основанию. Медиана к боковой стороне такими свойствами обычно не обладает.
Верно ли, что равные углы треугольника лежат напротив равных сторон?
Да. В любом треугольнике против равных углов лежат равные стороны, поэтому по двум равным углам можно распознать равнобедренный треугольник.
Какими свойствами обладают диагонали ромба?
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Кроме того, каждая диагональ делит пополам два угла ромба, расположенные при её концах.
Делит ли каждая диагональ ромба углы пополам?
Да. Диагональ делит пополам углы при двух своих концах, но не углы при других вершинах.
§ 3. Свойства равнобедренного треугольника и ромба
