§ 2. Первый признак равенства треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении совпадают. Поэтому у них равны соответствующие стороны и углы. Это определение помогает понять, что доказательство равенства треугольников позволяет сравнить сразу все их элементы.

Соответствующие элементы треугольников — стороны и углы, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Например, если A соответствует D, B — E, а C — F, то стороне AB соответствует DE, а углу A — угол D. Такое сопоставление нужно, чтобы не сравнить элементы, которые не занимают одинакового положения.

Угол между двумя сторонами — угол, образованный этими сторонами и имеющий общую с ними вершину. Например, угол A между сторонами AB и AC обозначают ∠A. Проверка положения угла нужна, чтобы убедиться, что условие признака выполнено.

Первый признак равенства треугольников утверждает: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Это позволяет доказать равенство треугольников, не измеряя каждый элемент отдельно.

Как это устроено

Сначала нужно сопоставить вершины двух треугольников, а не просто сравнить похожие буквы или расположение на чертеже. Отметь равные стороны и посмотри, в каких вершинах они сходятся; эти вершины и дают подсказку для соответствия. Затем проверь, что угол при общей вершине тоже равен. Так в доказательство попадут именно соответствующие элементы.

Признак использует две стороны и угол между ними, потому что эти данные задают треугольник однозначно. Представь, что две стороны — это отрезки заданной длины, соединённые под заданным углом. Если изменить угол, форма треугольника изменится, даже если длины сторон останутся прежними. Поэтому важны и длины, и положение сторон друг относительно друга.

Чтобы построить треугольник по двум сторонам и углу между ними, сначала построй заданный угол. На его лучах отложи от вершины отрезки нужной длины, а затем соедини их дальние концы. При одинаковых исходных данных отрезки откладываются на тех же расстояниях и под тем же углом, поэтому полученные треугольники совпадают при наложении. Именно эту мысль выражает первый признак.

Равенство записывают так, чтобы порядок букв показывал соответствие вершин. Если A соответствует D, B — E, C — F, запись будет △ABC = △DEF. В таком порядке сторона AB соответствует DE, сторона BC — EF, а угол A — угол D. Если переставить буквы без учёта соответствия, можно сделать неверный вывод о равенстве элементов.

После применения признака равными считаются не только те элементы, которые были указаны в условии. Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих сторон и углов. Например, если доказано △ABC = △DEF при соответствии A↔D, B↔E, C↔F, то BC = EF, а ∠B = ∠E и ∠C = ∠F. Эти выводы часто нужны для следующего шага доказательства.

Первый признак равенства треугольников

Сначала проверь равенство двух пар сторон, затем — углов, заключённых между этими сторонами. Если все три условия выполнены и соответствие вершин установлено, можно применить признак. После этого используй равенство треугольников, чтобы сравнить остальные элементы.

Разбор задач

Задача 1

В треугольниках ABC и DEF: AB = DE, AC = DF, ∠A = ∠D. Докажем, что треугольники равны. В условии уже названы пары соответствующих сторон, а общими вершинами каждой пары являются A и D. Значит, заданный угол находится между нужными сторонами.

1. По условию AB = DE и AC = DF. Это две пары равных соответствующих сторон.
2. Угол A заключён между AB и AC, а угол D — между DE и DF. По условию ∠A = ∠D.
3. Выполнены условия первого признака равенства треугольников. Следовательно, △ABC = △DEF.

Ответ: △ABC = △DEF по первому признаку.

Задача 2

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Известно, что AO = CO и BO = DO. Докажем, что △AOB = △COD. Чтобы применить первый признак, нужно найти угол между заданными сторонами, а не брать любой угол при пересечении.

1. В треугольниках AOB и COD стороны AO и CO равны, а стороны BO и DO равны по условию.
2. Углы AOB и COD — вертикальные: они образованы пересекающимися прямыми и лежат друг напротив друга. Вертикальные углы равны.
3. Равные углы находятся между указанными сторонами: ∠AOB — между AO и BO, ∠COD — между CO и DO. Значит, △AOB = △COD по первому признаку.

Ответ: △AOB = △COD.

Задача 3

△ABC = △DEF по первому признаку, причём A соответствует D, B — E, C — F. Дано: BC = 7 см, ∠A = 48°, периметр ABC равен 19 см. Нужно найти EF, ∠D и DE. Порядок вершин сразу указывает, какие элементы можно приравнять.

1. Стороне BC соответствует EF, поэтому EF = BC = 7 см.
2. Вершине A соответствует D, поэтому ∠D = ∠A = 48°.
3. Периметр ABC равен AB + BC + AC. Значит, AB + AC = 19 − 7 = 12 см. По этим данным нельзя определить AB отдельно: известно только, что AB + AC = 12 см.

Ответ: EF = 7 см, ∠D = 48°; найти DE по данным задачи нельзя, так как сумма двух остальных сторон известна, а длины каждой по отдельности — нет.

Типичные ошибки

Ошибка: сравнивают две стороны и угол, не проверяя, находится ли он между ними. Так бывает, когда замечают равный угол на чертеже, но не смотрят, какие стороны его образуют. Проверь общую вершину: угол должен быть образован именно выбранными сторонами в обоих треугольниках.

Ошибка: неверно сопоставляют вершины и приравнивают несоответствующие элементы. Часто ориентируются только на порядок букв или на вид рисунка, хотя он может быть повёрнут. Составь пары соответствующих сторон и углов, а затем запиши равенство треугольников в согласованном порядке.

Ошибка: считают достаточным равенство любых двух сторон и любого одного угла. Это не выполняет условие первого признака, если элементы не соответствуют друг другу или угол расположен не между выбранными сторонами. Для самопроверки укажи явно обе пары сторон и назови угол, который заключён между каждой парой.

Ошибка: после доказательства равенства треугольников записывают только одну пару равных сторон. Такой вывод верен, но неполон, если задача требует сравнить другие элементы. Проверь, какие стороны и углы соответствуют по записи равенства, и выпиши все нужные пары.

Связь с другими темами

Для применения признака понадобятся обозначения треугольника, равенство отрезков и углов, а также свойство вертикальных углов. Оно помогает в задачах, где треугольники образованы пересекающимися прямыми. Доказав их равенство, можно установить равенство отрезков и углов, в том числе в задачах о симметричных фигурах. Первый признак служит основой для изучения других признаков равенства треугольников и дальнейших доказательств.

Что запомнить

• Первый признак сравнивает две стороны и угол между ними.
• Сравниваемые стороны и угол должны быть соответственно равны.
• Угол должен быть заключён между выбранными сторонами.
• Порядок вершин в записи равенства показывает соответствие элементов.
• Равные по признаку треугольники имеют равные соответствующие стороны и углы.