§ 1. Замечательные отрезки в треугольнике

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Если в треугольнике ABC точка M — середина стороны BC, то AM — медиана. Она нужна, чтобы разделить треугольник на части и изучать, где пересекаются такие отрезки.

Биссектриса угла — луч, который выходит из его вершины и делит угол на два равных угла; часть этого луча внутри треугольника называют биссектрисой треугольника. Например, если AD делит угол A пополам, то ∠BAD = ∠DAC. Это определение помогает отличить биссектрису от отрезка, который просто проведён из вершины.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к противоположной стороне или к прямой, содержащей эту сторону. Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом, то есть под углом 90°. Высота нужна для измерения расстояния от вершины до противоположной стороны; у тупоугольного треугольника она может проходить вне фигуры.

Как это устроено

У каждого вида отрезка своё условие, поэтому при построении сначала нужно понять, что именно требуется. Для медианы важна середина стороны: она делит сторону на две равные части. Например, если M — середина BC, то BM = MC, и соединение A с M даёт медиану AM. Для проверки достаточно измерить обе части стороны или обосновать их равенство по условию.

Биссектрису строят не по стороне, а по углу. Её луч начинается в вершине и располагается внутри угла так, чтобы части угла были равны. Поэтому нельзя назвать биссектрисой любой отрезок, проведённый к противоположной стороне: нужно проверить равенство получившихся углов. В треугольнике из каждой вершины можно провести свою биссектрису.

Высоту проводят по условию перпендикулярности. Через вершину опускают прямую к противоположной стороне так, чтобы появился прямой угол; если сторона короткая или треугольник тупоугольный, приходится продолжить её за пределы фигуры. Значит, высота не всегда лежит внутри треугольника. В прямоугольном треугольнике два катета уже являются высотами: каждый из них перпендикулярен другому.

Три медианы одного треугольника всегда встречаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану так, что часть от вершины вдвое длиннее части от точки пересечения до стороны. Три биссектрисы также пересекаются в одной точке, равноудалённой от сторон треугольника. Её можно считать центром окружности, вписанной в треугольник, потому что расстояние от центра до каждой стороны служит радиусом.

Три высоты тоже имеют общую точку пересечения, но её положение зависит от вида треугольника. В остроугольном треугольнике высоты встречаются внутри, в прямоугольном — в вершине прямого угла, а в тупоугольном — вне треугольника. Это происходит потому, что для построения двух высот тупоугольного треугольника нужно продолжить стороны. Поэтому искать пересечение высот следует на прямых, содержащих высоты, а не только внутри фигуры.

Свойства замечательных отрезков

Пользуйся таблицей, когда нужно определить вид уже проведённого отрезка: проверь середину стороны, равенство углов или прямой угол. Если задача спрашивает точку пересечения, сначала определи, о каком наборе отрезков идёт речь. Свойства точек пересечения помогают находить длины частей и положение точки, не измеряя чертёж.

Разбор задач

Задача. В треугольнике ABC точка M — середина BC, а AM — медиана длиной 12 см. Медианы пересекаются в точке O. Найдите AO и OM. Сначала нужно узнать, какое свойство связано с точкой пересечения медиан, а затем применить отношение к известной длине AM.

1. Запишем, что M — середина BC, значит, AM действительно является медианой. Точка O — место пересечения медиан, поэтому к отрезкам AM и OM можно применить свойство медиан.

2. Точка пересечения делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому AO вдвое длиннее OM, а вся медиана AM состоит из трёх равных частей по этому отношению.

3. Длина AM равна 12 см, значит, одна часть отношения равна 12 : 3 = 4 см. Тогда OM равна 4 см, а AO равна 2 · 4 = 8 см.

4. Проверим ответ: AO + OM = 8 + 4 = 12 см, то есть получилась исходная длина AM. Кроме того, AO вдвое больше OM, как и требует свойство.

Ответ: AO = 8 см, OM = 4 см. Такой способ работает, только если O — точка пересечения медиан, а AM — медиана. Если отрезок является биссектрисой или высотой, отношение 2:1 применять нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать медианой отрезок, проведённый просто из вершины к противоположной стороне. Так делают, потому что на рисунке отрезок выглядит похожим на медиану. Но его конец может не быть серединой стороны, поэтому проверь равенство двух частей стороны.

Ошибка: путать биссектрису с медианой. Эти отрезки часто заканчиваются на противоположной стороне, но биссектриса делит угол пополам, а медиана — сторону пополам. Перед ответом отметь на чертеже, что именно должно быть равным: углы или части стороны.

Ошибка: проводить высоту только внутри треугольника. У тупоугольного треугольника нужная перпендикулярная прямая может пересечь продолжение стороны. Продли сторону и проверь, образует ли высота с ней угол 90°.

Ошибка: применять свойство медиан к точке пересечения высот. Отрезки и их точки пересечения имеют разные свойства, даже если на рисунке они похожи. Подпиши вид каждого отрезка и используй отношение 2:1 только для медианы и точки пересечения медиан.

Связь с другими темами

Чтобы находить медиану, нужно знать, что значит середина отрезка и как сравнивать длины его частей. Для построения биссектрисы пригодятся понятия угла и равных углов, а для высоты — прямой угол и перпендикулярные прямые. Эти отрезки используются при изучении видов треугольников и их свойств. Позже они помогут разбирать площади и геометрические построения: например, высота связана с расстоянием до стороны.

Что запомнить

• Медиана идёт к середине противоположной стороны.

• Биссектриса делит угол при вершине на две равные части.

• Высота перпендикулярна противоположной стороне или её продолжению.

• Медианы, биссектрисы и высоты каждого треугольника пересекаются соответственно в одной точке.

• Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1 от вершины; высоты могут проходить вне треугольника.