§ 3. Общие делители и общие кратные

Определения и обозначения

Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Например, 4 — делитель числа 20, потому что 20 : 4 = 5. Это связано с записью числа в виде произведения: 20 = 4 · 5, то есть делитель вместе с другим натуральным числом даёт исходное число. Так можно проверять, является ли число делителем.

Общий делитель двух натуральных чисел — число, которое является делителем каждого из них. Например, 3 — общий делитель чисел 12 и 18: оба числа делятся на 3 без остатка. Такие числа помогают выяснить, на какие равные части можно разделить оба количества. Чтобы найти их, проверяют делимость сразу на оба числа.

Общее кратное двух натуральных чисел — число, которое делится без остатка на каждое из них. Например, 24 — общее кратное чисел 6 и 8, так как 24 делится и на 6, и на 8. Общие кратные помогают находить моменты, когда повторяющиеся события происходят одновременно. В отличие от делителя, общее кратное может быть больше исходных чисел.

Наибольший общий делитель, или НОД, — наибольшее из общих делителей чисел. Наименьшее общее кратное, или НОК, — наименьшее натуральное общее кратное. НОД выбирают среди чисел, которые делят оба данных числа, а НОК — среди чисел, которые делятся на оба. Эти обозначения кратко называют два главных результата поиска.

Как это устроено

Чтобы найти общие делители двух чисел, удобно сначала выписать все делители каждого числа. Затем нужно оставить только те, которые есть в обоих списках: они подходят сразу двум числам. Например, у 18 делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, а у 30 — 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Совпадают 1, 2, 3 и 6, поэтому наибольший общий делитель равен 6.

Общие кратные можно искать похожим перебором, но выписывают уже не делители, а кратные каждого числа. Например, кратные 4 начинаются так: 4, 8, 12, 16, 20, 24, а кратные 6 — так: 6, 12, 18, 24. Совпадающие значения — общие кратные; первое из них является наименьшим. При этом начинать нужно с самих чисел и не пропускать значения, иначе можно не заметить самое маленькое совпадение.

Общие делители связаны с НОД: каждый общий делитель двух чисел делит и их наибольший общий делитель. Поэтому, если известен НОД, все общие делители можно найти среди делителей этого НОД. Причина в том, что НОД сам делит оба исходных числа и собирает в себе их общую делимость. Например, если НОД равен 6, общими делителями могут быть только делители 6: 1, 2, 3 и 6.

Все общие кратные чисел являются кратными их НОК. Если НОК найден, остальные общие кратные получают умножением его на натуральные числа: на 1, 2, 3 и так далее. Например, при НОК, равном 12, общими кратными будут 12, 24, 36 и следующие числа этого ряда. Это работает потому, что любое кратное 12 по-прежнему делится на каждое число, делителем которого является 12.

Результат полезно проверить по определениям, потому что одно только вычисление не гарантирует, что выбрано нужное число. НОД обязан делить оба исходных числа; он не может быть больше меньшего из них. НОК обязан делиться на оба числа и не может быть меньше большего из них. Эти проверки отсекают неподходящие ответы, но для НОД и НОК при переборе нужно ещё убедиться, что не пропущены более подходящие значения.

Общие делители и общие кратные двух натуральных чисел

Сначала определи, что именно ищешь: число, которое делит оба, или число, которое само делится на оба. Затем используй соответствующий способ перебора и проверь результат. Таблица также помогает не перепутать НОД с НОК.

Разбор задач

Общие делители чисел 18 и 30

Нужно найти все числа, которые делят и 18, и 30, а затем выбрать наибольшее. Составим списки делителей: так мы не пропустим ни одного возможного кандидата. В конце проверим, что выбранное число действительно делит оба исходных числа.

1. Запишем делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2. Запишем делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
3. Отметим числа, которые есть в обоих списках: 1, 2, 3, 6.
4. Выберем наибольшее из совпавших чисел. Проверка: 18 : 6 = 3 и 30 : 6 = 5.

Ответ: общие делители — 1, 2, 3, 6; НОД(18, 30) = 6.

НОК чисел 6 и 8

Нужно найти наименьшее число, которое делится и на 6, и на 8, а затем записать первые три общих кратных. Можно сопоставить ряды кратных, а после нахождения первого совпадения продолжить ряд, умножая НОК на натуральные числа. Такой способ показывает и почему пропускать первые кратные нельзя.

1. Запишем кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48.
2. Запишем кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48.
3. Первое совпадение — 24, значит, НОК(6, 8) = 24.
4. Найдём первые три общих кратных: 24 · 1 = 24, 24 · 2 = 48, 24 · 3 = 72.

Проверка: 24 : 6 = 4 и 24 : 8 = 3. Ответ: НОК равен 24; первые три общих кратных — 24, 48, 72.

Автобусы отправляются одновременно

Один автобус отправляется каждые 12 минут, другой — каждые 18 минут. Требуется узнать, когда они снова отправятся вместе, то есть найти наименьшее время, которое делится без остатка на оба интервала. Значит, задача сводится к нахождению НОК чисел 12 и 18.

1. Выпишем кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72.
2. Выпишем кратные 18: 18, 36, 54, 72.
3. Первое совпадение после начала движения — 36 минут, поэтому НОК(12, 18) = 36.
4. Проверим: 36 : 12 = 3, а 36 : 18 = 2. Значит, за это время пройдут три интервала первого автобуса и два интервала второго.

Ответ: автобусы снова отправятся одновременно через 36 минут.

Типичные ошибки

При поиске общих делителей иногда выписывают кратные, потому что путают два похожих слова. Но делитель должен делить исходное число, а кратное — делиться на него. Проверь каждое число делением без остатка на оба исходных числа: если оно само делится на них, это кандидат в общие кратные, а не в делители.

Общим кратным могут ошибочно назвать число, которое делится только на одно из данных чисел. Так происходит, если проверяют совпадение лишь с одним рядом кратных. Убедись, что деление на каждое из двух чисел выполняется без остатка; иначе число не является общим кратным.

НОД и НОК иногда меняют местами, потому что оба результата относятся к двум числам. НОД ищут среди общих делителей, а НОК — среди общих кратных, поэтому по определению первый делит оба числа, а второе делится на оба. Перед ответом назови, что именно ищешь, и проверь делимость в нужном направлении.

Перебор может остановиться слишком рано: например, не все делители проверены или пропущено более раннее совпадение в рядах кратных. Тогда найденное число подходит, но не обязательно является наибольшим или наименьшим. Записывай списки последовательно и обосновывай выбор: для НОД сравни все общие делители, для НОК найди первое совпадение в полных рядах.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки поиска делителей и кратных, проверки делимости и деления с остатком: без них нельзя составить списки и проверить ответ. НОД пригодится при сокращении дробей, а НОК — при приведении дробей к общему знаменателю. Поиск НОД и НОК связан с разложением натуральных чисел на множители, а также помогает решать задачи о повторяющихся событиях, например о расписании автобусов.

Что запомнить

• Общий делитель делит каждое из рассматриваемых чисел.
• Общее кратное делится на каждое из рассматриваемых чисел.
• НОД — наибольший общий делитель.
• НОК — наименьшее натуральное общее кратное.
• Все общие делители являются делителями НОД.
• Все общие кратные являются кратными НОК.