§ 2. Простые и составные числа. Сокращение дроби

Определения и обозначения

Простое число — натуральное число, большее 1, которое делится без остатка только на 1 и на себя. Например, у числа 7 делители — 1 и 7, поэтому оно простое. Это понятие помогает отличать числа, которые нельзя разбить на более мелкие целые множители.

Составное число — натуральное число, большее 1, у которого есть делители, отличные от 1 и самого числа. Например, 12 делится на 2 и на 3, значит, оно составное. Так можно понять, что число можно представить как произведение меньших натуральных чисел.

Разложение числа на простые множители — представление числа в виде произведения простых чисел. Например, 12 = 2 · 2 · 3. Такое представление показывает, из каких простых частей состоит число, и помогает находить общие множители.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель, отличный от 1. Например, дробь 6/8 можно разделить и сверху, и снизу на 2 и получить 3/4. Сокращение упрощает запись дроби, не меняя её значения.

Как это устроено

У числа 1 только один натуральный делитель — само число. Простому числу по определению нужны два разных делителя: 1 и оно само, поэтому 1 не подходит. Составным его тоже не считают, ведь у него нет других делителей. Это разделение позволяет разложение на простые множители начинать с чисел, у которых действительно два делителя.

Чтобы определить, простое число или составное, нужно проверить, делится ли оно без остатка на числа кроме 1 и самого себя. Если хотя бы один такой делитель найден, число составное: его можно записать произведением этого делителя и другого натурального числа. Если делителей больше не находится, число простое. Например, 9 делится на 3, а у 7 делителей, кроме 1 и 7, нет.

Составное число раскладывают на простые множители постепенно, потому что на первом шаге его делителем может оказаться составное число. Тогда это число тоже нужно представить произведением более простых множителей. Продолжают, пока каждый множитель не станет простым: дальше раскладывать его уже нельзя. Например, 60 = 6 · 10, затем 6 = 2 · 3 и 10 = 2 · 5, поэтому 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

При сокращении дроби числитель и знаменатель делят на одно и то же число. Это не меняет отношение между ними: если оба числа уменьшить одинаковое количество раз, дробь будет обозначать ту же долю. Делить на разные числа нельзя, потому что тогда числитель и знаменатель изменятся неодинаково. Например, 12/18 можно разделить на 6 и получить равную дробь 2/3.

Разложение числителя и знаменателя на простые множители помогает точно увидеть, что можно сократить. Общий множитель есть в обоих разложениях, поэтому его можно разделить и в числителе, и в знаменателе. Когда общие множители убраны, дробь записана в несократимом виде. Например, в разложениях 12 = 2 · 2 · 3 и 18 = 2 · 3 · 3 общие множители — 2 и 3; после их сокращения остаётся 2/3.

Простые и составные числа

Сначала убедись, что число больше 1: иначе определения простого и составного к нему не применяются. Затем посмотри, сколько у числа делителей. Ровно два делителя означают, что число простое, а дополнительные делители — что оно составное.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел 1, 7, 12 являются простыми, составными или не относятся ни к тем, ни к другим. Сначала вспомним, что 1 нужно рассматривать отдельно, а для остальных чисел проверим наличие делителей. Для простого числа не должно быть делителей, кроме 1 и самого числа. Если обнаружится другой делитель, число составное.

1. У числа 1 только один натуральный делитель. Значит, оно не является ни простым, ни составным.
2. У числа 7 делители — 1 и 7. Других делителей нет, поэтому 7 — простое число.
3. Число 12 делится, например, на 2 и на 3. Оба делителя отличаются от 1 и 12, значит, 12 — составное число.

Ответ: 1 не относится ни к простым, ни к составным; 7 — простое; 12 — составное.

Задача 2. Разложите число 60 на простые множители. Будем делить число на простые делители и продолжать разложение, если частное ещё составное. Так мы не пропустим множители, которые скрыты внутри составного числа. В конце проверим, что все множители простые и их произведение равно 60.

1. 60 делится на 2: 60 = 2 · 30.
2. 30 тоже делится на 2: 30 = 2 · 15. Получаем 60 = 2 · 2 · 15.
3. 15 делится на 3: 15 = 3 · 5. Числа 2, 3 и 5 простые.
4. Проверим произведение: 2 · 2 · 3 · 5 = 60.

Ответ: 60 = 2 · 2 · 3 · 5, или 60 = 2² · 3 · 5.

Задача 3. Сократите дробь 84/126, используя разложение числителя и знаменателя на простые множители. Такой способ удобен, если числа достаточно велики: общие простые множители сразу показывают, на что можно делить оба числа. После сокращения проверим, что оставшиеся числитель и знаменатель уже не имеют общего делителя больше 1.

1. Разложим числитель: 84 = 2 · 2 · 3 · 7.
2. Разложим знаменатель: 126 = 2 · 3 · 3 · 7.
3. Сократим общие множители 2, 3 и 7. В числителе останется один множитель 2, в знаменателе — один множитель 3.
4. Полученная дробь — 2/3. Числа 2 и 3 не имеют общего делителя больше 1, поэтому дальше сократить нельзя.

Ответ: 84/126 = 2/3.

Типичные ошибки

Называть 1 простым числом. Так думают, потому что 1 делится на себя и на 1, но это одно и то же число, а не два разных делителя. У простого числа должно быть ровно два натуральных делителя. Проверь, что делители различны: у 1 он только один.

Считать число составным, не проверив его делители. Иногда кажется, что любое число больше 1, которое не сразу узнаётся как простое, обязательно составное. Но для такого вывода нужно найти делитель, отличный от 1 и самого числа. Проверь делимость и назови этот делитель; если его нет, число простое.

Делить при сокращении числитель и знаменатель на разные числа. Это может показаться способом быстрее уменьшить оба числа, но дробь сохраняет значение только при одинаковом делении числителя и знаменателя. Например, нельзя сократить 12/18, разделив 12 на 2, а 18 на 3. Перед вычислением убедись, что выбранный общий делитель подходит обоим числам.

Вычитать одно и то же число при сокращении. Вычитание одинакового числа не сохраняет отношение числителя к знаменателю, хотя числа действительно становятся меньше. Сокращение выполняют делением на общий делитель, а не вычитанием. Для проверки сравни исходную и полученную дроби или проверь, делил ли ты обе части на одно и то же число.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о делителях и кратных натуральных чисел: делители помогают распознавать простые и составные числа и находить общие множители дроби. Полезно также уметь выполнять деление с остатком, чтобы проверять, делится ли одно число на другое без остатка. Разложение на простые множители и сокращение дробей пригодятся при сравнении дробей, нахождении общего знаменателя и вычислениях с дробями. Чем увереннее ты находишь общие множители, тем проще выполнять эти действия.

Что запомнить

• Простое число больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя.
• Составное число больше 1 и имеет больше двух натуральных делителей.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Составное число можно разложить на простые множители.
• При сокращении дроби числитель и знаменатель делят на один и тот же общий делитель.
• Сокращение не меняет значения дроби.