§ 1. Делители натурального числа

Определения и обозначения

Натуральное число a называется делителем натурального числа b, если b делится на a без остатка. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 : 4 = 5. Если при делении получается остаток, число делителем не является. Это определение помогает точно отличать деление нацело от деления с остатком.

Запись a | b означает, что число a является делителем числа b. Например, 3 | 12, потому что 12 : 3 = 4. Вертикальная черта здесь не означает обычное деление, а кратко сообщает о делимости. Такая запись удобна, когда нужно быстро указать связь между двумя числами.

Множеством делителей числа называют все натуральные числа, на которые исходное число делится без остатка. Например, для 10 это числа 1, 2, 5 и 10. Каждый элемент такого множества должен пройти проверку делением. По множеству делителей можно увидеть, на какие числа исходное число делится нацело.

Как это устроено

Делитель связан с делением с остатком: если a делит b, то при делении b на a остаток равен нулю. В таком случае частное показывает, сколько раз делитель помещается в исходном числе. Например, 15 : 5 = 3, значит, 5 — делитель 15. Если же 15 : 4 даёт остаток, то 4 не подходит.

Единица является делителем любого натурального числа, потому что при делении на 1 получается само число, а остатка нет. Само число тоже является своим делителем: оно делится на себя с частным 1. Поэтому при поиске делителей нужно помнить и о 1, и об исходном числе. Для числа 1 эти два делителя совпадают, поэтому его единственный натуральный делитель — 1.

Чтобы найти делители числа, последовательно проверяют натуральные числа: делят исходное число на каждый возможный кандидат и смотрят на остаток. Больше самого числа проверять не нужно: при делении меньшего числа на большее не получится натурального частного. Значит, для числа b достаточно рассмотреть числа от 1 до b включительно. Такой перебор конечен и позволяет не пропустить варианты.

Например, проверяя число 12, по порядку испытываем кандидатов от 1 до 12. На 1, 2, 3, 4, 6 и 12 оно делится без остатка, а остальные числа из этого промежутка не подходят. Поэтому список делителей — 1, 2, 3, 4, 6, 12. Чтобы убедиться, что список полный, важно пройти все числа по порядку, а не выбирать кандидатов наугад.

Проверить утверждение «a — делитель b» можно делением b на a. Если частное натуральное и остаток равен нулю, утверждение верно; если остаток не равен нулю, оно неверно. Например, для проверки 4 | 20 вычисляем 20 : 4. Этот способ подходит и для проверки отдельных чисел, и для составления полного списка делителей.

Делители натуральных чисел

В таблице в среднем столбце приведены все делители каждого числа, а в последнем показано, как проверить делимость. Читай строку слева направо: найди число, затем сверь его делители с результатами деления. Для произвольного числа n правило в последней строке показывает, почему само число всегда входит в список своих делителей.

Разбор задач

Проверьте, является ли 4 делителем 20.

1. Делим исходное число 20 на предполагаемый делитель 4: 20 : 4 = 5.
2. Проверяем результат: 5 — натуральное число, остатка нет.
3. Значит, условие делимости выполнено, и 4 | 20.

Ответ: да, 4 является делителем 20. Мы проверили не только результат деления, но и то, что он получен без остатка. Именно это требуется по определению делителя.

Найдите все делители числа 18.

1. Проверяем натуральные числа от 1 до 18 по порядку: сначала 1, затем 2, 3 и так далее.
2. При делении 18 на 1, 2, 3, 6, 9 и 18 остаток равен нулю.
3. Остальные числа от 1 до 18 не дают деления нацело, поэтому их не включаем.
4. Записываем подходящие числа по возрастанию, каждое один раз.

Ответ: делители числа 18 — 1, 2, 3, 6, 9, 18. Перебор всех кандидатов до самого числа помогает проверить, что ни один делитель не пропущен. Проверять числа больше 18 нет смысла: они не могут делить 18 нацело.

Из чисел 2, 3, 5, 6, 9 и 12 выберите все делители числа 36 и обоснуйте ответ.

1. Проверяем каждое предложенное число делением: 36 : 2 = 18, 36 : 3 = 12.
2. Далее получаем 36 : 5 с остатком 1, 36 : 6 = 6, 36 : 9 = 4, 36 : 12 = 3.
3. Оставляем числа, при делении на которые остаток равен нулю, а 5 исключаем.
4. Сверяем все шесть вариантов из условия, чтобы ни один подходящий не потерялся.

Ответ: делители 36 из предложенного списка — 2, 3, 6, 9 и 12. Число 5 не подходит, поскольку при делении остаётся ненулевой остаток. Полнота ответа подтверждается проверкой каждого числа, которое было дано в условии.

Типичные ошибки

Ошибка — считать делителем число, при делении на которое остаётся ненулевой остаток. Её допускают, если смотрят только на частное и забывают проверить остаток. Чтобы проверить себя, выполни деление с остатком: делитель подходит только при остатке 0.

Иногда в список не включают 1, хотя любое натуральное число делится на неё без остатка. Так бывает, если начинают проверку не с самого маленького натурального числа. Проверь, что перебор начинается с 1: при делении исходного числа на 1 получается оно само.

Другая ошибка — не включать в список само число. Возможно, кажется, что делителем может быть только число меньше исходного. Проверь деление числа на себя: частное равно 1, остаток равен 0, поэтому само число тоже подходит.

При бессистемной проверке легко пропустить делитель или записать один и тот же несколько раз. Чтобы этого не случилось, перебирай кандидатов по порядку и выписывай каждый подходящий только один раз. Для проверки списка ещё раз пройди все числа от 1 до исходного и отметь, какие делятся нацело.

Связь с другими темами

Для поиска делителей нужны знания о натуральных числах, делении с остатком и таблице умножения. Понятие делителя пригодится при разложении числа на простые множители и нахождении наибольшего общего делителя. Оно связано и с кратными: если a — делитель b, то b является кратным a. Эта связь помогает переходить от делителей одного числа к общим делителям нескольких чисел.

Что запомнить

• Делитель натурального числа делит его без остатка.
• Любое натуральное число делится на 1.
• Любое натуральное число делится само на себя.
• У числа 1 только один натуральный делитель — 1.
• Чтобы найти делители, проверяй деление на натуральные числа.
• В список делителей включай каждый подходящий делитель ровно один раз.