§ 2. Координаты на прямой, на плоскости в пространстве

Определения и обозначения

Координатная прямая — это прямая с выбранными началом отсчёта, направлением и единичным отрезком. Начало отсчёта принимают за нуль, направление показывает, где находятся положительные числа, а единичный отрезок задаёт масштаб. Благодаря этим трём элементам каждой точке можно сопоставить число.

Координата точки на прямой — число, которое показывает положение точки относительно начала отсчёта с учётом выбранного направления. Знак числа указывает сторону от нуля, а его величина — расстояние в единичных отрезках. Поэтому одной координаты достаточно, чтобы описать положение точки на прямой.

Координатная плоскость — это плоскость с двумя пересекающимися координатными прямыми, которые называют осями. Обычно оси перпендикулярны и имеют общее начало отсчёта. Первая ось и вторая ось образуют систему, с помощью которой можно определить положение любой точки на плоскости.

Координаты точки в пространстве — это три числа, задающие её положение относительно трёх координатных осей. Первое число связывают с первой осью, второе — со второй, третье — с третьей. Три координаты нужны потому, что в пространстве есть три независимых направления движения.

Как это устроено

Чтобы сопоставить точкам прямой числа, сначала отмечают начало отсчёта и называют его точкой с координатой 0. Затем выбирают положительное направление и откладывают в нём единичный отрезок, получая точку 1. Повторяя этот отрезок, получают точки 2, 3 и другие, а в противоположную сторону — точки −1, −2, −3. Обратно, по каждому числу можно найти точку: знак выбирает сторону, а модуль показывает, сколько единичных отрезков отложить.

Точка на прямой задаётся одним числом, потому что двигаться от начала отсчёта можно только вдоль одной линии. Если координата положительная, точка лежит в положительном направлении, если отрицательная — в противоположном, а координата 0 соответствует началу отсчёта. Чем больше модуль координаты, тем дальше точка от нуля. Например, точка с координатой −5 находится дальше от начала, чем точка с координатой −2.

На плоскости одной координаты недостаточно: по одной только первой оси можно узнать лишь одно направление смещения. Сначала первая координата показывает, насколько точку нужно сместить вдоль первой оси, а вторая показывает смещение вдоль второй оси. Пересечение этих двух заданных положений однозначно определяет точку. Так две оси заменяют описание движения вправо или влево и вверх или вниз.

Координаты точки на плоскости записывают в виде упорядоченной пары (x; y). Первое число всегда относится к первой оси, второе — ко второй, поэтому порядок нельзя менять без изменения смысла записи. Например, (2; −1) означает смещение на 2 единицы по первой оси и на 1 единицу в отрицательном направлении второй оси. Запись (−1; 2) задаёт другие смещения и обычно другую точку.

В пространстве к двум направлениям добавляется третье, поэтому для задания положения нужны три оси и три координаты. Первая координата задаёт смещение по первой оси, вторая — по второй, третья — по третьей. На плоскости достаточно пары чисел, а в пространстве требуется тройка (x; y; z), потому что точку можно перемещать ещё и в третьем направлении. Знак каждой координаты отдельно показывает выбранную сторону соответствующей оси.

Как задают положение точки

Сначала определите, где находится точка: на прямой, на плоскости или в пространстве. Затем посчитайте координаты и проверьте их порядок. Такая таблица помогает не перепутать число координат и понять, к какой оси относится каждое число.

Разбор задач

Задача 1

На координатной прямой нужно отметить точки A(−3) и B(2), если единичный отрезок равен 1 см. Требуется определить, какая точка расположена левее. Отрицательное число направляет нас в сторону, противоположную положительной.

1. Отметим начало отсчёта 0.
2. Для A отложим 3 см в отрицательном направлении и получим A(−3).
3. Для B отложим 2 см в положительном направлении и получим B(2).
4. На прямой все точки с меньшими координатами находятся левее точек с большими координатами.

Ответ: точка A(−3) расположена левее точки B(2), потому что −3 < 2.

Задача 2

Нужно построить точки A(2; −1) и B(−1; 2) на координатной плоскости и объяснить, почему они разные. В каждой записи первое число относится к первой оси, второе — ко второй. Поэтому нужно учитывать не только сами числа, но и их порядок.

1. Для A отложим 2 по первой оси и −1 по второй оси; пересечение соответствующих положений даст точку A.
2. Для B отложим −1 по первой оси и 2 по второй оси; пересечение даст точку B.
3. Сравним смещения: у точек разные значения на каждой оси.

Ответ: это разные точки, потому что A имеет координаты (2; −1), а B — (−1; 2). Перестановка координат изменила положение точки.

Задача 3

В пространственной системе нужно отметить C(2; −1; 3) и записать координаты точки D, смещённой от начала на 1 единицу по первой оси, на 2 по второй в отрицательном направлении и на 2 по третьей. Три направления рассматриваем отдельно. Знак «минус» появляется только у смещения по второй оси.

1. Для точки C откладываем 2 по первой оси, −1 по второй и 3 по третьей.
2. Для точки D первая координата равна 1, потому что движение идёт в положительном направлении первой оси.
3. Вторая координата равна −2, так как движение направлено противоположно положительному направлению.
4. Третья координата равна 2, поскольку смещение идёт на 2 единицы в положительную сторону.

Ответ: координаты точки D — D(1; −2; 2). При построении нужно последовательно учитывать все три оси и знак каждого смещения.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что для координатной прямой достаточно отметить начало отсчёта. Одной точки недостаточно, потому что неизвестны масштаб и положительная сторона. Проверьте себя: назовите направление стрелкой и отметьте единичный отрезок.

Ошибка: откладывать отрицательную координату вправо от начала отсчёта. Такое происходит, если ученик смотрит только на величину числа и забывает о его знаке. Проверьте направление: минус означает сторону, противоположную положительной.

Ошибка: менять местами координаты точки на плоскости. Координаты упорядочены, поскольку относятся к разным осям, поэтому (3; 1) и (1; 3) обычно задают разные точки. Проверьте себя, подписав возле каждого числа соответствующую ось.

Ошибка: путать число координат. На прямой нужна одна координата, на плоскости — две, в пространстве — три. Перед построением определите, сколько независимых направлений нужно описать.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужно уметь сравнивать положительные и отрицательные числа, отмечать их на числовой прямой и пользоваться единичным отрезком. Эти навыки помогают правильно выбирать направление и расстояние от нуля. Без них легко перепутать знак или положение точки.

Координаты на плоскости пригодятся при чтении графиков и построении точек. По ним можно описывать вершины геометрических фигур и проверять их взаимное расположение. Каждая координата при этом связана со своей осью.

Координатный способ задания положения станет основой для работы с точками в пространстве. Он также помогает описывать движение: изменение одной координаты показывает перемещение вдоль соответствующего направления. Поэтому координаты нужны не только в математике, но и при составлении планов и схем.

Что запомнить

• Координатная прямая задаётся началом отсчёта, направлением и единичным отрезком.
• Координата точки на прямой — одно число.
• На плоскости положение точки задают двумя координатами.
• Координаты точки на плоскости записывают в определённом порядке.
• В пространстве положение точки задают тремя координатами.
• Знак координаты показывает направление относительно начала отсчёта.