2.2. Противоположные числа. Модуль числа

Определения и обозначения

Противоположными называют два числа, которые отличаются только знаками и имеют одинаковые модули. Например, числа 4 и −4 противоположны, потому что одно из них находится на четыре единицы правее нуля, а другое — на четыре единицы левее. Противоположное числу a обозначают −a. Эта запись помогает быстро указать число, которое расположено напротив a относительно нуля.

Модулем числа называют расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль записывают с помощью вертикальных черт: |a|. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому модуль любого числа равен нулю или положителен. Например, |−6| = 6, а |0| = 0; эта величина показывает, как далеко число от нуля, но не указывает направление.

У нуля есть особое свойство: ему противоположен он сам, потому что ноль не находится ни справа, ни слева от себя и его расстояние до нуля равно нулю. Для любого числа a верно равенство |a| = |−a|: оба числа находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчёта. Значит, знак числа нужен, чтобы различать стороны прямой, а модуль нужен, чтобы измерять расстояние.

Как это устроено

Чтобы понять, почему числа называют противоположными, удобно представить числовую прямую. От нуля вправо откладывают положительные числа, а влево — отрицательные. Числа 3 и −3 стоят на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны, поэтому они образуют противоположную пару. Если поменять знак числа, его точка как будто отражается через ноль на другую сторону прямой.

У любого числа есть только одно противоположное. Если число положительное, противоположное ему отрицательное, и наоборот: противоположное для −9 — это 9. Ноль не меняется при смене знака: −0 = 0. Это объясняет, почему утверждение «у числа противоположное число» подходит и к нулю, хотя он не имеет положительного или отрицательного знака.

Модуль связан с расстоянием, а расстояние всегда измеряют неотрицательным числом. Поэтому |8| = 8: число 8 уже положительное, и его расстояние до нуля равно восьми единицам. Для отрицательного числа, например −8, модуль тоже равен 8, потому что точка −8 удалена от нуля на восемь единиц. Модуль не превращает число в противоположное, а сообщает только величину расстояния.

Правило вычисления модуля зависит от знака числа. Если число неотрицательное, его модуль равен самому числу: |a| = a при a ≥ 0. Если число отрицательное, модуль равен противоположному ему числу: |a| = −a при a < 0. Например, при a = −5 получаем |a| = −(−5) = 5; два знака минус здесь дают положительное число.

Модуль позволяет находить расстояние между любыми двумя точками числовой прямой. Если точки имеют координаты a и b, расстояние между ними равно |a − b|. Например, между точками −2 и 5 расстояние составляет |−2 − 5| = |−7| = 7 единиц. Модуль нужен потому, что расстояние должно оставаться положительным независимо от того, в каком порядке записали координаты.

Число, противоположное число и модуль

Сначала найдите в таблице исходное число, затем прочитайте противоположное ему число и модуль: это разные характеристики. В столбце «Положение на прямой» направление задаётся словами «влево» или «вправо», а модуль показывает только расстояние. Сравните строки для 6 и −6: модули равны, а знаки и положения на прямой противоположны.

Разбор задач

Задача 1. Найдите противоположное число для −12 и вычислите модуль числа −12.

Здесь нужно выполнить два действия, которые легко перепутать: найти число с противоположным знаком и определить расстояние до нуля. Число −12 находится слева от нуля на расстоянии 12 единиц. Поэтому его противоположное число будет справа от нуля на таком же расстоянии, а модуль будет выражать это расстояние без знака минус.

1. Записываем исходное число: −12. Оно отрицательное, поэтому его противоположное должно быть положительным.

2. Меняем знак числа: противоположное для −12 — это 12. Проверка: −12 + 12 = 0.

3. Находим модуль: расстояние от −12 до нуля равно 12 единицам, значит, |−12| = 12.

Ответ: противоположное число — 12; модуль числа −12 равен 12. Обратите внимание: результат в обоих случаях совпал, но это не одно и то же действие. Противоположное число указывает положение по другую сторону от нуля, а модуль указывает расстояние.

Задача 2. Найдите расстояние между точками с координатами −4 и 3.

На числовой прямой точка −4 расположена слева от нуля, а точка 3 — справа. Чтобы не зависеть от порядка вычитания, используем формулу расстояния |a − b|. Модуль результата убирает возможный минус, потому что расстояние не может быть отрицательным.

1. Подставляем координаты в формулу: |−4 − 3|.

2. Вычитаем: −4 − 3 = −7, поэтому получаем |−7|.

3. Находим модуль: |−7| = 7. Это и есть расстояние между точками.

Ответ: 7 единиц. Проверить результат можно по прямой: от −4 до нуля — четыре единицы, от нуля до 3 — ещё три. Всего получается 4 + 3 = 7 единиц, как и при вычислении с модулем.

Типичные ошибки

• Путать противоположное число с модулем. Например, для −5 оба ответа равны 5, из-за этого кажется, будто понятия одинаковы. Но противоположное число — это новое число на другой стороне нуля, а модуль — расстояние до нуля. Проверьте себя вопросом: требуется найти положение числа или его расстояние?

• Записывать модуль отрицательным. Так бывает, если в записи |−7| сохраняют знак исходного числа. Однако модуль измеряет расстояние, которое не бывает меньше нуля, поэтому |−7| = 7. Проверка проста: модуль должен быть неотрицательным.

• Считать, что у нуля нет противоположного числа. Ноль не положительный и не отрицательный, поэтому правило «поменять знак» может показаться неприменимым. Но −0 = 0, значит, ноль противоположен самому себе. Убедитесь, что сумма числа и его противоположного равна нулю.

• Терять минус при нахождении противоположного числа. Например, для 8 ошибочно оставляют 8, хотя требуется число −8. Чтобы проверить ответ, сложите исходное число и найденное: сумма противоположных чисел должна равняться нулю. Если получился ненулевой результат, знак нужно пересмотреть.

Связь с другими темами

Противоположные числа и модули нужны при работе с отрицательными числами и координатной прямой. Благодаря модулю можно находить расстояние между точками и сравнивать, насколько числа удалены от нуля. Противоположные числа помогают выполнять вычитание: разность a − b можно представить как сумму a и числа, противоположного b. Эти знания пригодятся при изучении действий с рациональными числами и при решении уравнений.

Что запомнить

• Противоположные числа отличаются знаками и имеют одинаковые модули.

• Числу a противоположно число −a; ноль противоположен самому себе.

• Модуль |a| — расстояние от числа a до нуля, поэтому |a| ≥ 0.

• У противоположных чисел одинаковые модули: |a| = |−a|.

• Расстояние между точками с координатами a и b равно |a − b|.